(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos usar a Desigualdade de Taylor para estimar quão precisa é a aproximação no intervalo . Aqui, a função dada é , o ponto de expansão é , e o grau do polinômio de Taylor é . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas da função até a ordem e aplicar a fórmula da Desigualdade de Taylor.

Passo 2

A Desigualdade de Taylor nos ajuda a estimar o erro entre a função e seu polinômio de Taylor . A fórmula é:
Aqui, é o valor máximo da derivada de ordem da função no intervalo considerado. Nosso objetivo é encontrar esse para usar na desigualdade.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem (já que ):

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo . Observando a expressão , vemos que o valor absoluto é:
Como é uma função decrescente para , o máximo ocorre no menor valor de , que é 15. Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos e os outros valores na Desigualdade de Taylor:
Sabendo que , temos . Portanto:
Assim, a desigualdade fica:

Resposta

A precisão da aproximação no intervalo é, no máximo:
Isso significa que o erro da aproximação não excede aproximadamente no intervalo dado.

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(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .
Seja , tal que para todo . Considere os conjuntos
Determine e .
(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .
Seja , tal que para todo . Considere os conjuntos
Mostre que não é verdade que .