(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos usar a Desigualdade de Taylor para estimar quão precisa é a aproximação
no intervalo
. Aqui, a função dada é
, o ponto de expansão é
, e o grau do polinômio de Taylor é
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas da função até a ordem
e aplicar a fórmula da Desigualdade de Taylor.
Passo 2
A Desigualdade de Taylor nos ajuda a estimar o erro entre a função
e seu polinômio de Taylor
. A fórmula é:
Aqui,
é o valor máximo da derivada de ordem
da função
no intervalo considerado. Nosso objetivo é encontrar esse
para usar na desigualdade.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
até a quarta ordem (já que
):
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor máximo de
no intervalo
. Observando a expressão
, vemos que o valor absoluto é:
Como
é uma função decrescente para
, o máximo ocorre no menor valor de
, que é 15. Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos
e os outros valores na Desigualdade de Taylor:
Sabendo que
, temos
. Portanto:
Assim, a desigualdade fica:
Resposta
A precisão da aproximação
no intervalo
é, no máximo:
Isso significa que o erro da aproximação não excede aproximadamente
no intervalo dado.
Exercícios relacionados
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
Seja
, tal que
para todo
. Considere os conjuntos
Determine
e
.
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
Seja
, tal que
para todo
. Considere os conjuntos
Mostre que não é verdade que
.