Prove que é divisível por 8 para todo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que é divisível por 8 para todo número natural . Isso quer dizer que, ao subtrair 1 de , o resultado sempre será múltiplo de 8. Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica poderosa para provar afirmações que são verdadeiras para todos os números naturais.

Passo 2

Vamos começar verificando o caso base, ou seja, quando . Substituindo na expressão:
Agora, verificamos se 24 é divisível por 8. Como e não há resto, 24 é de fato divisível por 8. Isso confirma que a afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
éí
Isso significa que existe um inteiro tal que:

Passo 4

Com base nessa hipótese, precisamos provar que a afirmação também é verdadeira para . Vamos considerar a expressão para :

Passo 5

Agora, podemos reescrever essa expressão de uma maneira que utilize a hipótese de indução:

Passo 6

Observando a expressão acima, temos:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que . Substituindo isso na expressão, temos:

Passo 7

Podemos fatorar o 8 dessa expressão:
Isso mostra que é múltiplo de 8, já que é igual a 8 vezes um inteiro.

Resposta

Portanto, por indução matemática, provamos que é divisível por 8 para todo .

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.