Prove que
é divisível por 8 para todo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que
é divisível por 8 para todo número natural
. Isso quer dizer que, ao subtrair 1 de
, o resultado sempre será múltiplo de 8. Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica poderosa para provar afirmações que são verdadeiras para todos os números naturais.
Passo 2
Vamos começar verificando o caso base, ou seja, quando
. Substituindo na expressão:
Agora, verificamos se 24 é divisível por 8. Como
e não há resto, 24 é de fato divisível por 8. Isso confirma que a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, assumimos que:
Isso significa que existe um inteiro
tal que:
Passo 4
Com base nessa hipótese, precisamos provar que a afirmação também é verdadeira para
. Vamos considerar a expressão para
:
Passo 5
Agora, podemos reescrever essa expressão de uma maneira que utilize a hipótese de indução:
Passo 6
Observando a expressão acima, temos:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que
. Substituindo isso na expressão, temos:
Passo 7
Podemos fatorar o 8 dessa expressão:
Isso mostra que
é múltiplo de 8, já que é igual a 8 vezes um inteiro.
Resposta
Portanto, por indução matemática, provamos que
é divisível por 8 para todo
.
Exercícios relacionados
Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.
Prove que
para todo
.
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
Suponha que
e
sejam conjuntos contidos em
. Mostre que:
.