Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor da função centrado em e de grau . Ou seja, vamos criar um polinômio que aproxima a função até o termo de . Para isso, vamos precisar das derivadas da função até a terceira ordem e avaliá-las em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma soma de termos que envolve as derivadas da função no ponto . A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau é:
Como , a fórmula fica mais simples:

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada :
Avaliando em :

Passo 5

Vamos para a segunda derivada :
Avaliando em :

Passo 6

Agora, a terceira derivada :
Avaliando em :

Passo 7

Agora que temos todas as derivadas necessárias avaliadas em , vamos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
Substituindo os valores:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 3 da função centrado em é:

Exercícios relacionados

Prove que para todo .
Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .
Prove que é divisível por 8 para todo .
(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .