Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor da função
centrado em
e de grau
. Ou seja, vamos criar um polinômio que aproxima a função até o termo de
. Para isso, vamos precisar das derivadas da função até a terceira ordem e avaliá-las em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma soma de termos que envolve as derivadas da função no ponto
. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
é:
Como
, a fórmula fica mais simples:
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada
:
Avaliando em
:
Passo 5
Vamos para a segunda derivada
:
Avaliando em
:
Passo 6
Agora, a terceira derivada
:
Avaliando em
:
Passo 7
Agora que temos todas as derivadas necessárias avaliadas em
, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
Substituindo os valores:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 3 da função
centrado em
é:
Exercícios relacionados
Prove que
para todo
.
Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.
Prove que
é divisível por 8 para todo
.
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.