Aproxime a função f(x) = 3 x^4 no intervalo [0,1] pelo método dos mínimos quadrados por um
polinômio de grau 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para aproximar a função no intervalo usando o método dos mínimos quadrados com um polinômio de grau 2. Basicamente, queremos encontrar um polinômio que fique o mais próximo possível de nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais e sistemas de equações para minimizar o erro quadrático entre e .

Passo 2

Primeiro, definimos o polinômio que vamos usar para a aproximação:
Nosso objetivo é ajustar os coeficientes , e de forma que a distância quadrática entre e seja mínima no intervalo . Isso significa que queremos minimizar a seguinte integral:

Passo 3

Para minimizar essa integral, usamos o método dos mínimos quadrados, que nos leva a um sistema de equações conhecido como “equações normais”. Essas equações dizem que o erro deve ser ortogonal a cada uma das funções base do nosso polinômio, ou seja, 1, e . Matemáticamente, isso dá:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. Para a primeira equação:
Calculando cada integral:
  1. Para a segunda equação:
Calculando cada integral:
  1. Para a terceira equação:
Calculando cada integral:

Passo 5

Agora temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 6

Multiplicando cada equação para eliminar os denominadores:
  1. Primeira equação multiplicada por 6:
  1. Segunda equação multiplicada por 12:
  1. Terceira equação multiplicada por 60:
Agora, temos:

Passo 7

Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então, temos:
Agora, multiplicamos a primeira equação por 10 para facilitar:
E a terceira equação multiplicada por 1 permanece:
Podemos resolver o sistema das equações (1) e (3).

Passo 8

Usando a equação (1):
Substituindo na equação (3):
E da equação (2):

Passo 9

Agora temos as equações (4) e (5):
Vamos resolver para e . Multiplicamos a segunda equação por 3:
Subtraindo a equação (4) da equação (6):

Passo 10

Agora que temos , vamos encontrar usando a equação (5):

Passo 11

Finalmente, encontramos usando a equação (1):

Resposta

O polinômio de grau 2 que aproxima no intervalo pelo método dos mínimos quadrados é:

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