Aproxime a função f(x) = 3 x^4 no intervalo [0,1] pelo método dos mínimos quadrados por um
polinômio de grau 1 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aproximar a função no intervalo usando o método dos mínimos quadrados com um polinômio de grau 1. Isso quer dizer que vamos encontrar uma reta da forma que melhor se ajusta à função nesse intervalo, minimizando o erro quadrático.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos mínimos quadrados. A ideia é minimizar a integral do quadrado da diferença entre a função original e a aproximação. Ou seja, queremos minimizar:
Substituindo e :

Passo 3

Para encontrar os coeficientes e que minimizam essa integral, derivamos essa expressão em relação a e e igualamos a zero. Isso nos dá um sistema de equações chamado de equações normais.

Passo 4

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos cada termo de a :

Passo 5

Calculando cada integral:
Então:
Simplificando:

Passo 6

Agora, derivamos essa expressão em relação a e a e igualamos a zero para minimizar:
Isso resulta em:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Substituindo em :
Então, .

Resposta

A aproximaç��o da função no intervalo pelo método dos mínimos quadrados com um polinômio de grau 1 é:

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