Aproxime a função
no intervalo
pelo método dos mínimos quadrados por um
polinômio de grau 1 ;
polinômio de grau 1 ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aproximar a função
no intervalo
usando o método dos mínimos quadrados com um polinômio de grau 1. Isso quer dizer que vamos encontrar uma reta da forma
que melhor se ajusta à função
nesse intervalo, minimizando o erro quadrático.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos mínimos quadrados. A ideia é minimizar a integral do quadrado da diferença entre a função original e a aproximação. Ou seja, queremos minimizar:
Substituindo
e
:
Passo 3
Para encontrar os coeficientes
e
que minimizam essa integral, derivamos essa expressão em relação a
e
e igualamos a zero. Isso nos dá um sistema de equações chamado de equações normais.
Passo 4
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos cada termo de
a
:
Passo 5
Calculando cada integral:
Então:
Simplificando:
Passo 6
Agora, derivamos essa expressão em relação a
e a
e igualamos a zero para minimizar:
Isso resulta em:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Substituindo em
:
Então,
.
Resposta
A aproximaç��o da função
no intervalo
pelo método dos mínimos quadrados com um polinômio de grau 1 é: