Considere a tabela abaixo
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2 -1.5 0 0.5 1.5 2
Encontre uma função de grau 2 que melhor se ajusta a estes pontos usando o método dos mínimos quadrados;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela com alguns valores de e . O objetivo é encontrar uma função de segundo grau (uma parábola) que melhor se encaixe nesses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, vamos precisar entender como ajustar uma curva polinomial aos dados fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de segundo grau tem a forma . Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais e os valores calculados pela função.

Passo 3

Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos montar um sistema de equações baseado nas somas dos diferentes poderes de e dos produtos de com . Vamos calcular as seguintes somas:

Passo 4

Vamos calcular essas somas com os valores dados:
Agora, somamos cada coluna:

Passo 5

Com essas somas, montamos o sistema de equações normal para encontrar , e :
Onde é o número de pontos, que no caso é 6.
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, resolvemos esse sistema de equações. Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Para simplificar, vamos utilizar métodos matriciais.
Escrevendo o sistema na forma matricial :

[


]
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , e .

Passo 7

Após resolver o sistema, encontramos os coeficientes:

Resposta

A função de grau 2 que melhor se ajusta aos pontos é:

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Considere a tabela abaixo
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2 -1.5 0 0.5 1.5 2
Encontre uma função linear que melhor se ajusta a estes pontos usando o método dos mínimos quadrados. Esboce a função linear juntamente com os pontos da tabela;
Um campo vetorial é chamado de campo vetorial conservativo se ele satisfaz algumas propriedades, como por exemplo são independentes do caminho, e as integrais de linha em circuito fechado săo semprenulas, além de ser irrotacional. Demonstre se o campo vetorial abaixo é conservativo.
Aproxime a função no intervalo pelo método dos mínimos quadrados por um
polinômio de grau 2 .
Aproxime a função no intervalo pelo método dos mínimos quadrados por um
polinômio de grau 1 ;