Encontre uma função de grau 2 que melhor se ajusta a estes pontos usando o método dos mínimos quadrados;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela com alguns valores de e . O objetivo é encontrar uma função de segundo grau (uma parábola) que melhor se encaixe nesses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, vamos precisar entender como ajustar uma curva polinomial aos dados fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de segundo grau tem a forma . Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais e os valores calculados pela função.
Passo 3
Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos montar um sistema de equações baseado nas somas dos diferentes poderes de e dos produtos de com . Vamos calcular as seguintes somas:
Passo 4
Vamos calcular essas somas com os valores dados:
Agora, somamos cada coluna:
Passo 5
Com essas somas, montamos o sistema de equações normal para encontrar , e :
Onde é o número de pontos, que no caso é 6.
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, resolvemos esse sistema de equações. Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Para simplificar, vamos utilizar métodos matriciais.
Escrevendo o sistema na forma matricial :
[
]
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de , e .
Passo 7
Após resolver o sistema, encontramos os coeficientes:
Resposta
A função de grau 2 que melhor se ajusta aos pontos é: