Considere a tabela abaixo
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
f(x) -2 -1.5 0 0.5 1.5 2
Encontre uma função linear que melhor se ajusta a estes pontos usando o método dos mínimos quadrados. Esboce a função linear juntamente com os pontos da tabela;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns pontos (valores de x e f(x)) e precisamos encontrar a melhor linha reta que se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Isso é parte da matéria de Estatística ou Álgebra Linear. Pra resolver, vamos precisar calcular algumas somas e usar fórmulas específicas para achar os coeficientes da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os pontos que a gente tem:
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
f(x) -2 -1.5 0 0.5 1.5 2
Temos 6 pontos no total ( ). Vamos precisar calcular algumas somas:
  • Soma de x:
  • Soma de f(x):
  • Soma de : ²
  • Soma de :

Passo 3

Vamos calcular essas somas:
  1. Soma de x ( ):
  2. Soma de f(x) ( ):
  3. Soma de ( ²):
    ²
  4. Soma de ( ):

Passo 4

Agora, vamos usar as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes a (inclinação) e b (intercepto) da reta:
²
Substituindo os valores que calculamos:
  1. Calculando a:
  2. Calculando b:
Então, a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos é:

Passo 5

Pra esboçar a função linear junto com os pontos da tabela, você pode fazer o seguinte:
  1. Plotar os pontos: Marque os pontos (0, -2), (0.5, -1.5), (1, 0), (1.5, 0.5), (2, 1.5) e (2.5, 2) em um gráfico.
  2. Desenhar a reta: Use a equação para desenhar a reta. Você pode calcular alguns valores de f(x) para x diferentes e traçar a linha que passa por esses pontos.
  3. Verificar o ajuste: A reta deve passar próximo de todos os pontos, minimizando a distância entre a reta e cada ponto, o que confirma que é o melhor ajuste pelo método dos mínimos quadrados.

Resposta

A função linear que melhor se ajusta aos pontos é aproximadamente .

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