Considere a tabela abaixo
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0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
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-2 | -1.5 | 0 | 0.5 | 1.5 | 2 |
Encontre uma função linear que melhor se ajusta a estes pontos usando o método dos mínimos quadrados. Esboce a função linear juntamente com os pontos da tabela;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns pontos (valores de
e
) e precisamos encontrar a melhor linha reta que se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Isso é parte da matéria de Estatística ou Álgebra Linear. Pra resolver, vamos precisar calcular algumas somas e usar fórmulas específicas para achar os coeficientes da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os pontos que a gente tem:
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0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
---|---|---|---|---|---|---|
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-2 | -1.5 | 0 | 0.5 | 1.5 | 2 |
Temos 6 pontos no total (
). Vamos precisar calcular algumas somas:
- Soma de
: - Soma de
: - Soma de
: - Soma de
:
Passo 3
Vamos calcular essas somas:
-
Soma de
( ): -
Soma de
( ): -
Soma de
( ): -
Soma de
( ):
Passo 4
Agora, vamos usar as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes
(inclinação) e
(intercepto) da reta:
Substituindo os valores que calculamos:
-
Calculando
: -
Calculando
:
Então, a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos é:
Passo 5
Pra esboçar a função linear junto com os pontos da tabela, você pode fazer o seguinte:
-
Plotar os pontos: Marque os pontos (0, -2), (0.5, -1.5), (1, 0), (1.5, 0.5), (2, 1.5) e (2.5, 2) em um gráfico.
-
Desenhar a reta: Use a equação
para desenhar a reta. Você pode calcular alguns valores de para diferentes e traçar a linha que passa por esses pontos. -
Verificar o ajuste: A reta deve passar próximo de todos os pontos, minimizando a distância entre a reta e cada ponto, o que confirma que é o melhor ajuste pelo método dos mínimos quadrados.
Resposta
A função linear que melhor se ajusta aos pontos é aproximadamente
.