A tabela abaixo fornece o número de bactérias, por unidade de volume, existentes em uma cultura após horas
Horas 0 1 2 3 4 5 6
Bactérias 5 10 17 26 40 62 96
Quantas horas são necessárias para o número de bactérias ultrapassar os 300 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma tabela que mostra o número de bactérias em uma cultura após certas horas. O objetivo aqui é descobrir em quantas horas o número de bactérias vai passar de 300. Para isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial, que é comum quando falamos de populações de bactérias se multiplicando.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os dados que temos:
Horas 0 1 2 3 4 5 6
Bactérias 5 10 17 26 40 62 96
Observamos que o número de bactérias está aumentando a cada hora, e parece estar crescendo de forma não linear, sugerindo um crescimento exponencial.

Passo 3

Para modelar esse crescimento, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial:
Onde:
  • é o número de bactérias no tempo .
  • é o número inicial de bactérias.
  • é a taxa de crescimento.
  • é a base do logaritmo natural.
Nosso objetivo é encontrar o valor de quando .

Passo 4

Primeiro, precisamos determinar a taxa de crescimento . Para isso, usamos dois pontos da tabela. Vamos usar e :
Para :
Isso confirma que .
Para :
Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Agora que temos , podemos escrever a equação do número de bactérias ao longo do tempo:
Queremos encontrar quando :

Passo 6

Para resolver para , tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:

Resposta

Serão necessárias aproximadamente 8,3 horas para o número de bactérias ultrapassar 300.

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