A tabela abaixo fornece o número de bactérias, por unidade de volume, existentes em uma cultura após
horas
Horas | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Bactérias | 5 | 10 | 17 | 26 | 40 | 62 | 96 |
Quantas horas são necessárias para o número de bactérias ultrapassar os 300 ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos uma tabela que mostra o número de bactérias em uma cultura após certas horas. O objetivo aqui é descobrir em quantas horas o número de bactérias vai passar de 300. Para isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial, que é comum quando falamos de populações de bactérias se multiplicando.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os dados que temos:
Horas | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Bactérias | 5 | 10 | 17 | 26 | 40 | 62 | 96 |
Observamos que o número de bactérias está aumentando a cada hora, e parece estar crescendo de forma não linear, sugerindo um crescimento exponencial.
Passo 3
Para modelar esse crescimento, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial:
Onde:
-
é o número de bactérias no tempo . -
é o número inicial de bactérias. -
é a taxa de crescimento. -
é a base do logaritmo natural.
Nosso objetivo é encontrar o valor de
quando
.
Passo 4
Primeiro, precisamos determinar a taxa de crescimento
. Para isso, usamos dois pontos da tabela. Vamos usar
e
:
Para
:
Isso confirma que
.
Para
:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos escrever a equação do número de bactérias ao longo do tempo:
Queremos encontrar
quando
:
Passo 6
Para resolver para
, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Resposta
Serão necessárias aproximadamente 8,3 horas para o número de bactérias ultrapassar 300.
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no intervalo
pelo método dos mínimos quadrados por um
polinômio de grau 1 ;
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no intervalo
pelo método dos mínimos quadrados por um
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