Aproxime a função no intervalo por um polinômio de grau 2 pelo método dos mínimos quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente aproximar a função no intervalo usando um polinômio de grau 2 pelo método dos mínimos quadrados. Isso envolve matemática de aproximação de funções e um pouco de cálculo integral para minimizar o erro entre a função original e o polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de grau 2. Ele tem a forma geral:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que fazem com que esse polinômio se aproxime o máximo possível da função no intervalo .
Passo 3
O método dos mínimos quadrados busca minimizar a diferença entre e ao quadrado, integrada no intervalo. Então, queremos minimizar:
Para isso, expandimos o quadrado e igualamos as derivadas em relação a , e a zero, resultando em um sistema de equações.
Passo 4
Vamos calcular as integrais necessárias:
Integrando por partes: , ,
Então:
Novamente, integração por partes: , ,
Então:Já sabemos que , então:
Passo 5
Agora, montamos o sistema de equações com base nas integrais e nas potências de :
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de , e .
Resposta
Após resolver o sistema, obtemos o polinômio de grau 2 que aproxima no intervalo pelo método dos mínimos quadrados:
Com os coeficientes específicos calculados a partir das integrais e das equações acima. (Os valores exatos dos coeficientes dependem dos cálculos finais do sistema de equações.)