Calcule as integrais, utilizando o método da substituição.
integral 102+5 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral usando o método da substituição. Esse tipo de integral está relacionado ao cálculo integral, especificamente integrais racionais. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a expressão da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável. Observando o denominador , percebemos que sua derivada em relação a é constante (a derivada de é ), o que facilita a substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = 5 dx implies dx = du5 . Agora, precisamos calcular em termos de :

Passo 4

Substituindo integral 10u cdot du5 = integral 105 cdot 1u du = 2 integral 1u du e na integral original, temos:

Passo 5

A integral de 2 integral 1u du = 2 ln |u| + C em relação a é o logaritmo natural de :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos 2 ln |2 + 5x| + C de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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