Aproxime a função
por uma reta no intervalo
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos aproximá-la por uma reta no intervalo [0,1]. Isso significa encontrar uma reta que “chegue perto” da curva de
nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta que melhor se ajusta à curva naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher um ponto no intervalo [0,1] onde vamos construir a reta aproximadora. Vamos escolher
para simplificar os cálculos.
Passo 3
Calculamos o valor da função no ponto
:
Isso nos dá o ponto de tangência
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Para isso, calculamos a derivada da função
:
Passo 5
Calculamos a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente em
é 0.
Passo 6
Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos escrever a equação da reta aproximadora usando a fórmula da reta tangente:
Substituindo
:
Resposta
A reta que aproxima
no intervalo [0,1] é
.