Aproxime a função f(x)=4 x^3 por uma reta no intervalo [0,1].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos aproximá-la por uma reta no intervalo [0,1]. Isso significa encontrar uma reta que “chegue perto” da curva de nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta que melhor se ajusta à curva naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher um ponto no intervalo [0,1] onde vamos construir a reta aproximadora. Vamos escolher para simplificar os cálculos.

Passo 3

Calculamos o valor da função no ponto f(0) = 4(0)^3 = 0 :
Isso nos dá o ponto de tangência .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto f'(x) = ddx(4x^3) = 12x^2 . Para isso, calculamos a derivada da função :

Passo 5

Calculamos a derivada no ponto f'(0) = 12(0)^2 = 0 :
Então, a inclinação da reta tangente em é 0.

Passo 6

Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos escrever a equação da reta aproximadora usando a fórmula da reta tangente:
y = f(a) + f'(a)(x - a)
Substituindo y = 0 + 0(x - 0) :
y = 0

Resposta

A reta que aproxima no intervalo [0,1] é .

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