Aproxime a função
por uma reta no intervalo
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos aproximá-la por uma reta no intervalo [0,1]. Isso significa encontrar uma reta que “chegue perto” da curva de
nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta que melhor se ajusta à curva naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher um ponto no intervalo [0,1] onde vamos construir a reta aproximadora. Vamos escolher
para simplificar os cálculos.
Passo 3
Calculamos o valor da função no ponto
:
Isso nos dá o ponto de tangência
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Para isso, calculamos a derivada da função
:
Passo 5
Calculamos a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente em
é 0.
Passo 6
Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos escrever a equação da reta aproximadora usando a fórmula da reta tangente:
Substituindo
:
Resposta
A reta que aproxima
no intervalo [0,1] é
.
Exercícios relacionados
Um veículo de fabricação nacional, após vários testes, apresentou os resultados a seguir, quando analisou-se o consumo de combustível de acordo com a velocidade média imposta ao veículo. Os testes foram realizados em rodovia em operação normal de tráfego, numa distância de 72 km, conforme tabela a seguir:
Velocidade
|
55 | 70 | 85 | 100 | 115 | 130 |
---|---|---|---|---|---|---|
Consumo
|
14,08 | 13,56 | 13,28 | 12,27 | 11,30 | 10,40 |
Verifique o consumo apropriado para o caso de ser desenvolvida a velocidade de
pela fórmula de Newton - Gregory de grau 3.
Use a porção dada a seguir de uma tabela de vapor d
(a) a entropia correspondente s para um volume específico
de 0,118 com interpolação linear;
(b) Uma estimativa do erro para um volume específico de 0,118 obtido no item anterior;
© a mesma entropia correspondente utilizando interpolação quadrática;
(d) o volume correspondente a uma entropia de 6,45 utilizando interpolação inversa.
(b) Uma estimativa do erro para um volume específico
© a mesma entropia correspondente utilizando interpolação quadrática;
(d) o volume correspondente a uma entropia de 6,45 utilizando interpolação inversa.
Interpole
no intervalo
usando uma spline cúbica natural correspondentes aos nós
e
.
(Ajuste Hiperbólico) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função
com a não nulo. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
donde, temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
|
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
Com deleite, no que segue, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
|
-3 | -2 | -1 |
|
|
---|---|---|---|---|---|
|
|
-5 |
|
|
|
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial
.