(Ajuste Hiperbólico) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função
com a não nulo. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
donde, temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
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---|---|---|---|---|---|
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Com deleite, no que segue, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
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-3 | -2 | -1 |
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---|---|---|---|---|---|
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-5 |
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Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de
e
, e queremos ajustar esses pontos a uma função do tipo
. Isso significa que vamos procurar os melhores valores para
e
que fazem essa função se aproximar o máximo possível dos dados que temos. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha (ou curva) que se ajusta aos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a função
para facilitar o uso dos mínimos quadrados. Se a gente pegar o inverso de
, fica assim:
Essa transformação é legal porque agora temos uma relação linear entre
e
, o que facilita aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
para cada valor de
que temos na tabela. Como
, basta calcular o inverso de cada
.
Vamos montar uma nova tabela com esses valores:
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-3 | -2 | -1 | -0,5 | -0,4 |
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-7,6923 | -5 | -2,0408 | -0,4975 | -0,2004 |
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-0,13 | -0,20 | -0,49 | -2,01 | -4,99 |
Passo 4
Vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes
e
. Esse método basicamente busca a melhor reta que se ajusta aos pontos de
e
.
Para isso, precisamos calcular alguns valores:
- Soma de
: - Soma de
: - Soma de
: - Soma de
:
Vamos calcular esses valores com os dados da tabela:
Passo 5
Agora, vamos usar as somas que calculamos para encontrar
e
com as fórmulas dos mínimos quadrados:
Onde
é o número de pontos, que nesse caso é 5.
Vamos substituir os valores:
Resposta
Os coeficientes encontrados são aproximadamente
e
. Portanto, a função ajustada fica:
Exercícios relacionados
Interpole
no intervalo
usando uma spline cúbica natural correspondentes aos nós
e
.
Aproxime a função
por uma reta no intervalo
.
Em um experimento foram obtidos os seguintes valores
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
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0,98 |
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-15 |
Usando o método dos mínimos quadrados, determine dentre todas as retas
e calcule o erro.
Dada a tabela
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
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-1 |
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5 |
|
7 |
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13 |
calcule
e
, sabendo-se que ela corresponde a um polinômio de grau 3.