(Ajuste Hiperbólico) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função g(x)=1a1 x+a2 com a não nulo. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
h(x)=1g(x)=a1 x+a2
donde, temos que
h(x)=a1+a2 x
Assim,
& g(x) approx f(x) & 1g(x) approx 1f(x)
Desta forma, temos a seguinte tabela:
x x1 x2 x3 ldots xm
1 / f(x) 1 / f(x1) 1 / f(x2) 1 / f(x3) ldots 1 / f(xm)
Com deleite, no que segue, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
x -3 -2 -1 -0,5 -0,4
f(x) -7,6923 -5 -2,0408 -0,4975 -0,2004
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial g(x)=1a1 x+a2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de e , e queremos ajustar esses pontos a uma função do tipo . Isso significa que vamos procurar os melhores valores para e que fazem essa função se aproximar o máximo possível dos dados que temos. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha (ou curva) que se ajusta aos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função h(x) = 1g(x) = a1 x + a2 para facilitar o uso dos mínimos quadrados. Se a gente pegar o inverso de , fica assim:
Essa transformação é legal porque agora temos uma relação linear entre e , o que facilita aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar e .

Passo 3

Agora, vamos calcular para cada valor de que temos na tabela. Como , basta calcular o inverso de cada .
Vamos montar uma nova tabela com esses valores:
-3 -2 -1 -0,5 -0,4
-7,6923 -5 -2,0408 -0,4975 -0,2004
-0,13 -0,20 -0,49 -2,01 -4,99

Passo 4

Vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes Sx &= (-3) + (-2) + (-1) + (-0,5) + (-0,4) = -6,9 Sy &= (-0,13) + (-0,20) + (-0,49) + (-2,01) + (-4,99) = -7,82 Sxy &= (-3)(-0,13) + (-2)(-0,20) + (-1)(-0,49) + (-0,5)(-2,01) + (-0,4)(-4,99) &= 0,39 + 0,40 + 0,49 + 1,005 + 1,996 = 4,28 Sxx &= (-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + (-0,5)^2 + (-0,4)^2 &= 9 + 4 + 1 + 0,25 + 0,16 = 14,41 e . Esse método basicamente busca a melhor reta que se ajusta aos pontos de e .
Para isso, precisamos calcular alguns valores:
  1. Soma de :
  2. Soma de :
  3. Soma de :
  4. Soma de :
Vamos calcular esses valores com os dados da tabela:

Passo 5

Agora, vamos usar as somas que calculamos para encontrar a1 = m Sxy - Sx Sym Sxx - (Sx)^2 e a2 = Sy - a1 Sxm com as fórmulas dos mínimos quadrados:
a1 = 5 times 4,28 - (-6,9) times (-7,82)5 times 14,41 - (-6,9)^2 = 21,4 - 53,89872,05 - 47,61 = -32,49824,44 approx -1,33
a2 = -7,82 - (-1,33) times (-6,9)5 = -7,82 - 9,1775 = -16,9975 approx -3,40
Onde é o número de pontos, que nesse caso é 5.
Vamos substituir os valores:

Resposta

Os coeficientes encontrados são aproximadamente g(x) = 1-1,33, x - 3,40 e . Portanto, a função ajustada fica:

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