(Ajuste Hiperbólico) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função com a não nulo. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
donde, temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
Com deleite, no que segue, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
-3 -2 -1
-5
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de e , e queremos ajustar esses pontos a uma função do tipo . Isso significa que vamos procurar os melhores valores para e que fazem essa função se aproximar o máximo possível dos dados que temos. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha (ou curva) que se ajusta aos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função para facilitar o uso dos mínimos quadrados. Se a gente pegar o inverso de , fica assim:
Essa transformação é legal porque agora temos uma relação linear entre e , o que facilita aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar e .

Passo 3

Agora, vamos calcular para cada valor de que temos na tabela. Como , basta calcular o inverso de cada .
Vamos montar uma nova tabela com esses valores:
-3 -2 -1 -0,5 -0,4
-7,6923 -5 -2,0408 -0,4975 -0,2004
-0,13 -0,20 -0,49 -2,01 -4,99

Passo 4

Vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes e . Esse método basicamente busca a melhor reta que se ajusta aos pontos de e .
Para isso, precisamos calcular alguns valores:
  1. Soma de :
  2. Soma de :
  3. Soma de :
  4. Soma de :
Vamos calcular esses valores com os dados da tabela:

Passo 5

Agora, vamos usar as somas que calculamos para encontrar e com as fórmulas dos mínimos quadrados:
Onde é o número de pontos, que nesse caso é 5.
Vamos substituir os valores:

Resposta

Os coeficientes encontrados são aproximadamente e . Portanto, a função ajustada fica:

Exercícios relacionados

Interpole no intervalo usando uma spline cúbica natural correspondentes aos nós e .
Aproxime a função por uma reta no intervalo .
Em um experimento foram obtidos os seguintes valores
0 1 2 3 4
0,98 -15
Usando o método dos mínimos quadrados, determine dentre todas as retas e calcule o erro.
Dada a tabela
0 1 2 3 4 5 6
-1 5 7 13
calcule e , sabendo-se que ela corresponde a um polinômio de grau 3.