Interpole f(x)=x^4 no intervalo [-1,1] usando uma spline cúbica natural correspondentes aos nós x0=-1, x1=0 e x2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para interpolar a função no intervalo usando uma spline cúbica natural com os nós em , e .
Matéria envolvida: Spline cúbica natural, que é uma ferramenta para aproximar funções usando polinômios de terceiro grau que se conectam suavemente nos pontos dados (nós).
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre polinômios cúbicos.
  • Condições de continuidade para a spline (valores e derivadas iguais nos pontos de conexão).
  • Condições de naturalidade (segunda derivada zero nas extremidades).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma spline cúbica natural. É uma função composta por pedaços de polinômios de terceiro grau que se juntam de forma suave nos nós. No nosso caso, temos dois intervalos:
  1. De S0(x) = a0 + b0(x + 1) + c0(x + 1)^2 + d0(x + 1)^3 para -1 <= x <= 0 a S1(x) = a1 + b1x + c1x^2 + d1x^3 para 0 <= x <= 1 .
  2. De a .
Cada intervalo terá seu próprio polinômio cúbico:
Aqui, deslocamos em para que seja o ponto inicial.

Passo 3

Condição 1: Passar pelos pontos dados
Queremos que a spline passe exatamente pelos pontos f(-1) = (-1)^4 = 1 , f(0) = 0^4 = 0 e f(1) = 1^4 = 1 .
Calculando S0(-1) = a0 = 1 :
S0(0) = a0 + b0(1) + c0(1)^2 + d0(1)^3 = a0 + b0 + c0 + d0 = 0
S1(0) = a1 = 0
S1(1) = a1 + b1(1) + c1(1)^2 + d1(1)^3 = a1 + b1 + c1 + d1 = 1
Aplicando isso aos polinômios:
Para em :
Para em :
Para em :
Para em :

Passo 4

Condição 2: Continuidade das derivadas primeira e segunda em S0'(x) = b0 + 2c0(x + 1) + 3d0(x + 1)^2
Queremos que a primeira e a segunda derivadas de S1'(x) = b1 + 2c1x + 3d1x^2 e b0 + 2c0(1) + 3d0(1)^2 = b1 sejam iguais em b0 + 2c0 + 3d0 = b1 .
Calculando as derivadas:
Primeira derivada de S0''(x) = 2c0 + 6d0(x + 1) :
S1''(x) = 2c1 + 6d1x
Primeira derivada de 2c0 + 6d0(1) = 2c1 :
2c0 + 6d0 = 2c1
Igualando em c0 + 3d0 = c1 :
Segunda derivada de :
Segunda derivada de :
Igualando em :

Passo 5

Condição 3: Maclaurin Natural — Segundas derivadas nas extremidades são zero
Para uma spline cúbica natural, as segundas derivadas nos extremos S0''(-1) = 2c0 + 6d0(0) = 2c0 = 0 Rightarrow c0 = 0 e S1''(1) = 2c1 + 6d1(1) = 2c1 + 6d1 = 0 Rightarrow c1 = -3d1 devem ser zero.
Calculando:
Segunda derivada de em :
Segunda derivada de em :

Passo 6

Agora, vamos reunir todas as equações que temos:
  1. De a0 = 1 :
1 + b0 + c0 + d0 = 0
  1. De a1 = 0 :
0 + b1 + c1 + d1 = 1
  1. De b0 + 2c0 + 3d0 = b1 :
c0 + 3d0 = c1
  1. De c0 = 0 :
c1 = -3d1
  1. De continuidade da primeira derivada:
  1. De continuidade da segunda derivada:
  1. De naturalidade nas segundas derivadas:

Passo 7

Vamos resolver essas equações passo a passo.
Primeiro, sabemos que 1 + b0 + 0 + d0 = 0 Rightarrow b0 + d0 = -1 (Equação A) . Substituindo 0 + 3d0 = c1 Rightarrow c1 = 3d0 (Equação B) na equação 2:
b0 + 0 + 3d0 = b1 Rightarrow b1 = b0 + 3d0 (Equação C) çã
Da equação 6, com 3d0 = -3d1 Rightarrow d1 = -d0 (Equação D) :
b1 + c1 + d1 = 1 çã
Da equação 5, com b1 + 3d0 - d0 = 1 Rightarrow b1 + 2d0 = 1 (Equação E) :
(b0 + 3d0) + 2d0 = 1 Rightarrow b0 + 5d0 = 1 (Equação F) çã
Da equação 7, já temos (b0 + 5d0) - (b0 + d0) = 1 - (-1) Rightarrow 4d0 = 2 Rightarrow d0 = 12 . Igualando com a Equação B:
b0 + 12 = -1 Rightarrow b0 = -32 çã
Da equação 4:
b1 = -32 + 3 times 12 = -32 + 32 = 0
Substituindo d1 = -12 e c1 = 3 times 12 = 32 :
çã
Agora, substituímos da Equação C na Equação E:
çã
Agora temos duas equações com e :
  • Equação A:
  • Equação F:
Subtraindo Equação A de Equação F:
Agora, usando na Equação A:
Usando na Equação C:
Usando na Equação D:
E finalmente, usando na Equação B:

Resposta

Com todos os coeficientes encontrados, a spline cúbica natural que interpola S0(x) = 1 - 32(x + 1) + 0 cdot (x + 1)^2 + 12(x + 1)^3 para -1 <= x <= 0 no intervalo S1(x) = 0 + 0 cdot x + 32x^2 - 12x^3 para 0 <= x <= 1 é dada por:
S0(x) = 1 - 32(x + 1) + 12(x + 1)^3
S1(x) = 32x^2 - 12x^3
Simplificando:
Essa é a spline cúbica natural que aproxima a função no intervalo dado.

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