Interpole
no intervalo
usando uma spline cúbica natural correspondentes aos nós
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para interpolar a função
no intervalo
usando uma spline cúbica natural com os nós em
,
e
.
Matéria envolvida: Spline cúbica natural, que é uma ferramenta para aproximar funções usando polinômios de terceiro grau que se conectam suavemente nos pontos dados (nós).
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre polinômios cúbicos.
- Condições de continuidade para a spline (valores e derivadas iguais nos pontos de conexão).
- Condições de naturalidade (segunda derivada zero nas extremidades).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma spline cúbica natural. É uma função composta por pedaços de polinômios de terceiro grau que se juntam de forma suave nos nós. No nosso caso, temos dois intervalos:
- De
a . - De
a .
Cada intervalo terá seu próprio polinômio cúbico:
Aqui, deslocamos
em
para que
seja o ponto inicial.
Passo 3
Condição 1: Passar pelos pontos dados
Queremos que a spline passe exatamente pelos pontos
,
e
.
Calculando
:
Aplicando isso aos polinômios:
Para
em
:
Para
em
:
Para
em
:
Para
em
:
Passo 4
Condição 2: Continuidade das derivadas primeira e segunda em
Queremos que a primeira e a segunda derivadas de
e
sejam iguais em
.
Calculando as derivadas:
Primeira derivada de
:
Primeira derivada de
:
Igualando em
:
Segunda derivada de
:
Segunda derivada de
:
Igualando em
:
Passo 5
Condição 3: Maclaurin Natural — Segundas derivadas nas extremidades são zero
Para uma spline cúbica natural, as segundas derivadas nos extremos
e
devem ser zero.
Calculando:
Segunda derivada de
em
:
Segunda derivada de
em
:
Passo 6
Agora, vamos reunir todas as equações que temos:
- De
:
- De
:
- De
:
- De
:
- De continuidade da primeira derivada:
- De continuidade da segunda derivada:
- De naturalidade nas segundas derivadas:
Passo 7
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Primeiro, sabemos que
. Substituindo
na equação 2:
Da equação 6, com
:
Da equação 5, com
:
Da equação 7, já temos
. Igualando com a Equação B:
Da equação 4:
Substituindo
e
:
Agora, substituímos
da Equação C na Equação E:
Agora temos duas equações com
e
:
- Equação A:
- Equação F:
Subtraindo Equação A de Equação F:
Agora, usando
na Equação A:
Usando
na Equação C:
Usando
na Equação D:
E finalmente, usando
na Equação B:
Resposta
Com todos os coeficientes encontrados, a spline cúbica natural que interpola
no intervalo
é dada por:
Simplificando:
Essa é a spline cúbica natural que aproxima a função
no intervalo dado.