Interpole no intervalo usando uma spline cúbica natural correspondentes aos nós e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para interpolar a função no intervalo usando uma spline cúbica natural com os nós em , e .
Matéria envolvida: Spline cúbica natural, que é uma ferramenta para aproximar funções usando polinômios de terceiro grau que se conectam suavemente nos pontos dados (nós).
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre polinômios cúbicos.
  • Condições de continuidade para a spline (valores e derivadas iguais nos pontos de conexão).
  • Condições de naturalidade (segunda derivada zero nas extremidades).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma spline cúbica natural. É uma função composta por pedaços de polinômios de terceiro grau que se juntam de forma suave nos nós. No nosso caso, temos dois intervalos:
  1. De a .
  2. De a .
Cada intervalo terá seu próprio polinômio cúbico:
Aqui, deslocamos em para que seja o ponto inicial.

Passo 3

Condição 1: Passar pelos pontos dados
Queremos que a spline passe exatamente pelos pontos , e .
Calculando :
Aplicando isso aos polinômios:
Para em :
Para em :
Para em :
Para em :

Passo 4

Condição 2: Continuidade das derivadas primeira e segunda em
Queremos que a primeira e a segunda derivadas de e sejam iguais em .
Calculando as derivadas:
Primeira derivada de :
Primeira derivada de :
Igualando em :
Segunda derivada de :
Segunda derivada de :
Igualando em :

Passo 5

Condição 3: Maclaurin Natural — Segundas derivadas nas extremidades são zero
Para uma spline cúbica natural, as segundas derivadas nos extremos e devem ser zero.
Calculando:
Segunda derivada de em :
Segunda derivada de em :

Passo 6

Agora, vamos reunir todas as equações que temos:
  1. De :
  1. De :
  1. De :
  1. De :
  1. De continuidade da primeira derivada:
  1. De continuidade da segunda derivada:
  1. De naturalidade nas segundas derivadas:

Passo 7

Vamos resolver essas equações passo a passo.
Primeiro, sabemos que . Substituindo na equação 2:
çã
Da equação 6, com :
çã
Da equação 5, com :
çã
Da equação 7, já temos . Igualando com a Equação B:
çã
Da equação 4:
Substituindo e :
çã
Agora, substituímos da Equação C na Equação E:
çã
Agora temos duas equações com e :
  • Equação A:
  • Equação F:
Subtraindo Equação A de Equação F:
Agora, usando na Equação A:
Usando na Equação C:
Usando na Equação D:
E finalmente, usando na Equação B:

Resposta

Com todos os coeficientes encontrados, a spline cúbica natural que interpola no intervalo é dada por:
Simplificando:
Essa é a spline cúbica natural que aproxima a função no intervalo dado.

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donde, temos que
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-3 -2 -1
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0 1 2 3 4
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