Um veículo de fabricação nacional, após vários testes, apresentou os resultados a seguir, quando analisou-se o consumo de combustível de acordo com a velocidade média imposta ao veículo. Os testes foram realizados em rodovia em operação normal de tráfego, numa distância de 72 km, conforme tabela a seguir:
Velocidade (km / h) 55 70 85 100 115 130
Consumo (km / l) 14,08 13,56 13,28 12,27 11,30 10,40
Verifique o consumo apropriado para o caso de ser desenvolvida a velocidade de 105 km / h pela fórmula de Newton - Gregory de grau 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre o consumo de combustível de um carro em diferentes velocidades. A ideia é descobrir quanto o carro vai consumir de combustível quando estiver viajando a 105 km/h, usando uma técnica chamada Fórmula de Newton-Gregory de grau 3. Para resolver isso, a gente vai precisar entender sobre interpolação, que é uma maneira de estimar valores que estão entre os que a gente já conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem:
Velocidade (km/h) 55 70 85 100 115 130
Consumo (km/l) 14,08 13,56 13,28 12,27 11,30 10,40
Nosso objetivo é encontrar o consumo para 105 km/h, que está entre 100 km/h e 115 km/h. Como estamos usando o método de Newton-Gregory de grau 3, vamos precisar usar quatro pontos para fazer a interpolação. Vamos escolher os pontos mais próximos de 105 km/h.

Passo 3

Vamos selecionar os seguintes quatro pontos para a interpolação:
  • 85 km/h: 13,28 km/l
  • 100 km/h: 12,27 km/l
  • 115 km/h: 11,30 km/l
  • 130 km/h: 10,40 km/l
Agora, vamos calcular as diferenças sucessivas dessas quantidades, que são necessárias para aplicar a fórmula.

Passo 4

Vamos montar uma tabela de diferenças divididas. Primeiro, listamos os consumos:
Velocidade (x) Consumo (f(x))
85 13,28
100 12,27
115 11,30
130 10,40
Agora, calculamos as primeiras diferenças:
De
  • Entre 85 e 100 km/h: 12,27 - 13,28 = -1,01
  • Entre 100 e 115 km/h: 11,30 - 12,27 = -0,97
  • Entre 115 e 130 km/h: 10,40 - 11,30 = -0,90
Tabela com primeiras diferenças:
Velocidade (x) f(x) De
85 13,28 -1,01
100 12,27 -0,97
115 11,30 -0,90
130 10,40

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas diferenças:
De
  • Entre as primeiras diferenças: -0,97 - (-1,01) = 0,04
  • Entre as próximas: -0,90 - (-0,97) = 0,07
Tabela com segundas diferenças:
Velocidade (x) f(x) De De
85 13,28 -1,01 0,04
100 12,27 -0,97 0,07
115 11,30 -0,90
130 10,40

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a terceira diferença:
De
  • Entre as segundas diferenças: 0,07 - 0,04 = 0,03
Tabela completa:
Velocidade (x) f(x) De De De
85 13,28 -1,01 0,04 0,03
100 12,27 -0,97 0,07
115 11,30 -0,90
130 10,40

Passo 7

Agora que temos todas as diferenças, podemos usar a Fórmula de Newton-Gregory de grau 3 para encontrar o consumo em 105 km/h. A fórmula geral é:
f(x) = f(x0) + (s)De
Onde:
  • s = x - x0h
  • h é o incremento de velocidade entre os pontos, que nesse caso é h = 15 km/h (diferença entre 85 e 100 km/h)
  • x0 = 85 km/h
Vamos calcular s para x = 105 km/h:
s = 105 - 8515 = 2015 = 43 approx 1,333

Passo 8

Agora, substituímos os valores na fórmula:
f(105) = 13,28 + (43)(-1,01) + (43)(43-1)2 times 0,04 + (43)(43-1)(43-2)6 times 0,03
Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro termo: 13,28
  2. Segundo termo: (43)(-1,01) approx -1,347
  3. Terceiro termo:
    (43)(13)2 times 0,04 = 492 times 0,04 = 418 times 0,04 approx 0,0089
  4. Quarto termo:
    (43)(-23)6 times 0,03 = -896 times 0,03 = -854 times 0,03 approx -0,0044

Passo 9

Agora, somamos todos os termos:
f(105) approx 13,28 - 1,347 + 0,0089 - 0,0044 approx 13,28 - 1,347 + 0,0045 approx 11,94

Resposta

O consumo aproximado para a velocidade de 105 km/h é 11,94 km/l.

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