Seja
, tal que
para todo
. Considere os conjuntos
Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
definida para todos os números reais. Temos dois conjuntos:
Nos pedem para encontrar
e
. Vamos precisar entender o que são diferença de conjuntos e imagem de conjuntos através de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A diferença de conjuntos
inclui todos os elementos que estão em
mas não estão em
.
Olha só:
-
vai de -1 a 0 -
vai de 0 a 1
Então, o único número que está em ambos é 0. Assim,
vai ser todos os números de -1 até 0, excluindo o 0.
Matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
. A imagem de um conjunto através de uma função
é o conjunto de todos os valores que
assume quando aplicamos
a cada elemento do conjunto.
Para
:
Como
sempre dá valores não negativos e o menor valor ocorre quando
, temos:
Passo 4
Para
:
Aqui,
também varia de 0 a 1, então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
. Isso significa os valores que estão em
mas não estão em
.
Mas olha só:
Portanto, todos os valores de
já estão em
, então a diferença é o conjunto vazio.
Resposta
e
Exercícios relacionados
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
Seja
, tal que
para todo
. Seja
, tal que
para todo
. Defina a função composta
em que
.
Determine a imagem inversa , em que
.
Determine a imagem inversa
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.