Seja , tal que para todo . Considere os conjuntos
Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função definida para todos os números reais. Temos dois conjuntos:
Nos pedem para encontrar e . Vamos precisar entender o que são diferença de conjuntos e imagem de conjuntos através de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A diferença de conjuntos inclui todos os elementos que estão em mas não estão em .
Olha só:
  • vai de -1 a 0
  • vai de 0 a 1
Então, o único número que está em ambos é 0. Assim, vai ser todos os números de -1 até 0, excluindo o 0.
Matematicamente:

Passo 3

Agora, vamos calcular e . A imagem de um conjunto através de uma função é o conjunto de todos os valores que assume quando aplicamos a cada elemento do conjunto.
Para :
Como sempre dá valores não negativos e o menor valor ocorre quando , temos:

Passo 4

Para :
Aqui, também varia de 0 a 1, então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar . Isso significa os valores que estão em mas não estão em .
Mas olha só:
Portanto, todos os valores de já estão em , então a diferença é o conjunto vazio.

Resposta

e

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(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
Seja , tal que para todo . Seja , tal que para todo . Defina a função composta em que .
Determine a imagem inversa , em que .
(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.