(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos aproximá-la usando o polinômio de Taylor de grau 2 em torno de . O objetivo é usar a Desigualdade de Taylor para estimar o erro dessa aproximação quando .
Conteúdo da matéria envolvido:
Polinômio de Taylor: Uma aproximação de uma função suave em torno de um ponto.
Desigualdade de Taylor: Uma forma de estimar o erro da aproximação polinomial.
Derivadas: Precisamos calcular derivadas da função para encontrar o polinômio de Taylor e estimar o erro.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Encontrar o Polinômio de Taylor de grau 2 para em .
O polinômio de Taylor de grau para uma função em torno de é dado por:
Como e , precisamos calcular , e .
Vamos calcular essas derivadas:
Primeira derivada :
Aplicando a regra da cadeia:
Então, .
Segunda derivada :
Vamos derivar :
Simplificando:
Então, .
Agora, montamos o polinômio de Taylor de grau 2:
Passo 3
Aplicar a Desigualdade de Taylor para estimar o erro .
A Desigualdade de Taylor nos dá uma estimativa do erro da aproximação polinomial. Ela é dada por:
Onde:
é o erro entre e .
é um limite superior para a -ésima derivada de no intervalo considerado.
é o grau do polinômio de Taylor.
Neste caso:
Precisamos encontrar e determinar um limite superior para quando .
Passo 4
Calcular a terceira derivada e encontrar o valor de .
Já temos:
E:
Agora, vamos calcular :
Derivando :
Calculando cada termo:
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Simplificando:
Então, juntando tudo:
Agora, precisamos encontrar um limite superior para quando .
Para simplificar, vamos considerar :
implica que e .
Observando os termos de :
Somando as duas partes:
Passo 5
Aplicar a Desigualdade de Taylor com os valores encontrados para estimar o erro.
Usando a Desigualdade de Taylor:
Substituindo e :
Resposta
A precisão da aproximação no intervalo é estimada por .