Aproxime a soma das séries para a precisão indicada.
(cinco casas decimais)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente aproximar a soma da série
com uma precisão de cinco casas decimais. Isso significa que queremos descobrir o valor dessa soma até, no máximo,
de erro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que essa é uma série alternada. Isso quer dizer que os termos da série mudam de sinal: positivo, negativo, positivo, e assim por diante. A vantagem das séries alternadas é que, se os termos vão diminuindo de tamanho e tendem a zero, a série converge, ou seja, tem um valor definido.
Passo 3
Para verificar se nossa série atende a esses critérios, vamos olhar para os termos
. À medida que
aumenta,
fica bem menor e tende a zero, então está tudo certo. Agora, para aproximar a soma com a precisão que queremos, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que o erro ao aproximar a soma usando os primeiros
termos é no máximo igual ao
-ésimo termo.
Passo 4
Queremos que o erro seja menor que
(cinco casas decimais). Então, precisamos encontrar o menor valor de
tal que
. Fazendo as contas:
Então, vamos calcular os termos até
para garantir a precisão necessária.
Passo 5
Agora, somamos os primeiros 13 termos da série:
Calculando cada termo e somando, chegamos à aproximação:
Resposta
A soma aproximada da série é
.