Aproxime a soma das séries para a precisão indicada. sumn=1^infty (-1)^n-1n^6 (cinco casas decimais)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente aproximar a soma da série sumn=1^infty (-1)^n-1n^6 com uma precisão de cinco casas decimais. Isso significa que queremos descobrir o valor dessa soma até, no máximo, 0.00001 de erro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que essa é uma série alternada. Isso quer dizer que os termos da série mudam de sinal: positivo, negativo, positivo, e assim por diante. A vantagem das séries alternadas é que, se os termos vão diminuindo de tamanho e tendem a zero, a série converge, ou seja, tem um valor definido.

Passo 3

Para verificar se nossa série atende a esses critérios, vamos olhar para os termos 1n^6. À medida que n aumenta, 1n^6 fica bem menor e tende a zero, então está tudo certo. Agora, para aproximar a soma com a precisão que queremos, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que o erro ao aproximar a soma usando os primeiros k termos é no máximo igual ao (k+1)-ésimo termo.

Passo 4

Queremos que o erro seja menor que 0.000005 (cinco casas decimais). Então, precisamos encontrar o menor valor de n tal que 1n^6 < 0.000005. Fazendo as contas:
1n^6 < 5 times 10^-6 Rightarrow n^6 > 2 times 10^5 Rightarrow n > raiz[6]2 times 10^5 approx 12,3
Então, vamos calcular os termos até n = 13 para garantir a precisão necessária.

Passo 5

Agora, somamos os primeiros 13 termos da série:
S = sumn=1^13 (-1)^n-1n^6
Calculando cada termo e somando, chegamos à aproximação:
S approx 0,017344

Resposta

A soma aproximada da série é 0,01734.

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