Resolva as equações diferenciais dadas:
d y / (y - y^2) = d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial que está escrita assim:
Estamos lidando com Equações Diferenciais, mais especificamente com um tipo chamado equação diferencial separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e depois integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar e . A equação dada é:
Podemos fatorar o denominador no lado esquerdo:
Agora, as variáveis estão separadas: tudo com está de um lado e tudo com está do outro.

Passo 3

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Mas antes, vamos simplificar a fração do lado esquerdo usando frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, obtemos:
Para encontrar e , podemos escolher valores convenientes para :
  • Se :
  • Se :
Assim, temos:
Agora, a equação fica:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial nos dois lados:
Agora, resolvemos para :
Podemos reescrever isso de uma forma mais elegante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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