Resolva as equações diferenciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial que está escrita assim:
Estamos lidando com Equações Diferenciais, mais especificamente com um tipo chamado equação diferencial separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e depois integrar cada lado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar
e
. A equação dada é:
Podemos fatorar o denominador no lado esquerdo:
Agora, as variáveis estão separadas: tudo com
está de um lado e tudo com
está do outro.
Passo 3
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Mas antes, vamos simplificar a fração do lado esquerdo usando frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, obtemos:
Para encontrar
e
, podemos escolher valores convenientes para
:
- Se
: - Se
:
Assim, temos:
Agora, a equação fica:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial nos dois lados:
Agora, resolvemos para
:
Podemos reescrever isso de uma forma mais elegante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.