Determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto (x0, y0) na região:
d/y = y^(4/5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que nos pede para descobrir em qual região do plano xy temos uma solução única passando por um ponto específico (x0, y0). A equação é:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber quando podemos ter uma solução única para uma equação diferencial, dependendo de certas condições da função envolvida. Vamos precisar entender um pouco sobre continuidade e condições de Lipschitz para seguir adiante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que se a função f(x, y) na nossa equação diferencial
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em y em torno do ponto (x0, y0), então existe uma solução única passando por esse ponto.
No nosso caso, a função não depende de x, o que já facilita um pouco. Precisamos verificar onde essa função é contínua e onde ela satisfaz a condição de Lipschitz em y.

Passo 3

Vamos analisar a continuidade de . Essa função é contínua para todos os valores de y reais, inclusive quando . Então, a primeira condição do teorema está satisfeita em toda a reta y.
Agora, a condição de Lipschitz. Para isso, precisamos que a derivada da função em relação a y seja limitada em uma vizinhança do ponto (x0, y0). Calculando a derivada:

Passo 4

Observamos que a derivada apresenta um problema quando y se aproxima de zero: ela tende ao infinito. Isso significa que a condição de Lipschitz não é satisfeita quando .
Portanto, a função só satisfaz a condição de Lipschitz em regiões onde y ≠ 0. Assim, a unicidade da solução está garantida apenas quando y está longe de zero.

Passo 5

Resumindo, para a equação diferencial , temos solução única passando por um ponto (x0, y0) se e somente se . Ou seja, a região do plano xy onde a equação tem uma única solução é onde y ≠ 0.

Resposta

A equação diferencial tem uma única solução passando por um ponto (x0, y0) na região onde y ≠ 0.

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