Determine uma região do plano
para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto
na região:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que nos pede para descobrir em qual região do plano
temos uma solução única passando por um ponto específico
. A equação é:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber quando podemos ter uma solução única para uma equação diferencial, dependendo de certas condições da função envolvida. Vamos precisar entender um pouco sobre continuidade e condições de Lipschitz para seguir adiante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que se a função
na nossa equação diferencial
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em
em torno do ponto
, então existe uma solução única passando por esse ponto.
No nosso caso, a função
não depende de
, o que já facilita um pouco. Precisamos verificar onde essa função é contínua e onde ela satisfaz a condição de Lipschitz em
.
Passo 3
Vamos analisar a continuidade de
. Essa função é contínua para todos os valores de
reais, inclusive quando
. Então, a primeira condição do teorema está satisfeita em toda a reta
.
Agora, a condição de Lipschitz. Para isso, precisamos que a derivada da função em relação a
seja limitada em uma vizinhança do ponto
. Calculando a derivada:
Passo 4
Observamos que a derivada
apresenta um problema quando
se aproxima de zero: ela tende ao infinito. Isso significa que a condição de Lipschitz não é satisfeita quando
.
Portanto, a função
só satisfaz a condição de Lipschitz em regiões onde
. Assim, a unicidade da solução está garantida apenas quando
está longe de zero.
Passo 5
Resumindo, para a equação diferencial
, temos solução única passando por um ponto
se e somente se
. Ou seja, a região do plano
onde a equação tem uma única solução é onde
.
Resposta
A equação diferencial
tem uma única solução passando por um ponto
na região onde
.