Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty 2^3 n-1n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Isso envolve estudar o comportamento de uma série infinita, que é parte do conteúdo de Cálculo de Séries. Para resolver, a gente vai precisar usar o teste da razão, que ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries que envolvem termos exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Observa que , então podemos reescrever a série como . Isso já mostra que temos uma série com termos que crescem exponencialmente devido ao .

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão, que diz que para a série , calculamos . Se , a série converge; se , diverge; se , o teste não conclui nada.

Passo 4

Calculando a razão dos termos consecutivos:
an+1an = 8^n+1/((n+1)^2+1)8^n/(n^2+1) = 8 cdot n^2+1(n+1)^2+1

Passo 5

Agora, calculamos o limite dessa expressão quando L = limn to infty 8 cdot n^2+1(n+1)^2+1 = 8 cdot limn to infty n^2+1n^2+2n+2 = 8 cdot 11 = 8 tende ao infinito:

Passo 6

Como e , pelo teste da razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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