Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e convergência absoluta. Vamos precisar lembrar como verificar se uma série converge absolutamente e, se não, se ela converge condicionalmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então ela é condicionalmente convergente.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série: .
Primeiro, consideramos a série dos valores absolutos: .
Passo 4
Agora, vamos analisar a série . Sabemos que a série é a expansão da série de Taylor da função em , que converge para . Isso significa que nossa série também converge, já que apenas omitimos o primeiro termo ().
Passo 5
Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Isso já garante que a série original converge, sem precisar verificar a convergência condicional.