Aproxime a soma das séries para a precisão indicada.
(quatro casas decimais)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Você precisa aproximar a soma da série infinita
com uma precisão de quatro casas decimais. Isso envolve conceitos de séries infinitas e aproximações usando somas parciais. Vamos precisar conhecer como somar os primeiros termos da série até que a aproximação seja suficientemente precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da série:
. Aqui, cada termo da série é dado por
. Isso significa que para cada valor de
, estamos dividindo
por
(fatorial de
).
Passo 3
Para aproximar a soma da série, vamos calcular a soma dos primeiros termos até que a contribuição de termos adicionais seja menor que 0,00005 (metade da última casa decimal que queremos, para garantir a precisão de quatro casas decimais). Isso é uma técnica comum para garantir que a aproximação seja suficientemente precisa.
Passo 4
Vamos calcular os termos um por um:
-
Para
: Soma parcial: 1 -
Para
: Soma parcial: -
Para
: Soma parcial: -
Para
: Soma parcial: -
Para
: A magnitude deste termo é menor que 0,00005, então podemos parar aqui.
Passo 5
Agora, somamos os termos calculados até
para obter a aproximação da soma da série:
Para arredondar para quatro casas decimais, olhamos para o quinto decimal (7), que é maior que 5, então arredondamos o quarto decimal para cima:
Resposta
A aproximação da soma da série é
.
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In this problem, we will evaluate the double integral
using polar coordinates.
(b) Rewrite the region using polar coordinates.
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