Aproxime a soma das séries para a precisão indicada. (quatro casas decimais)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Você precisa aproximar a soma da série infinita com uma precisão de quatro casas decimais. Isso envolve conceitos de séries infinitas e aproximações usando somas parciais. Vamos precisar conhecer como somar os primeiros termos da série até que a aproximação seja suficientemente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da série: . Aqui, cada termo da série é dado por . Isso significa que para cada valor de , estamos dividindo por (fatorial de ).

Passo 3

Para aproximar a soma da série, vamos calcular a soma dos primeiros termos até que a contribuição de termos adicionais seja menor que 0,00005 (metade da última casa decimal que queremos, para garantir a precisão de quatro casas decimais). Isso é uma técnica comum para garantir que a aproximação seja suficientemente precisa.

Passo 4

Vamos calcular os termos um por um:
  • Para :
    Soma parcial: 1
  • Para :
    Soma parcial:
  • Para :
    Soma parcial:
  • Para :
    Soma parcial:
  • Para :
    A magnitude deste termo é menor que 0,00005, então podemos parar aqui.

Passo 5

Agora, somamos os termos calculados até para obter a aproximação da soma da série:
Para arredondar para quatro casas decimais, olhamos para o quinto decimal (7), que é maior que 5, então arredondamos o quarto decimal para cima:

Resposta

A aproximação da soma da série é .

Exercícios relacionados

Evaluate
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
In this problem, we will evaluate the double integral
using polar coordinates.
(b) Rewrite the region using polar coordinates.