Aproxime a soma das séries para a precisão indicada. sumn=0^infty (-1)^n(2 n)! (quatro casas decimais)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Você precisa aproximar a soma da série infinita com uma precisão de quatro casas decimais. Isso envolve conceitos de séries infinitas e aproximações usando somas parciais. Vamos precisar conhecer como somar os primeiros termos da série até que a aproximação seja suficientemente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da série: . Aqui, cada termo da série é dado por . Isso significa que para cada valor de , estamos dividindo por (fatorial de ).

Passo 3

Para aproximar a soma da série, vamos calcular a soma dos primeiros termos até que a contribuição de termos adicionais seja menor que 0,00005 (metade da última casa decimal que queremos, para garantir a precisão de quatro casas decimais). Isso é uma técnica comum para garantir que a aproximação seja suficientemente precisa.

Passo 4

Vamos calcular os termos um por um:
  • Para (-1)^0(2 times 0)! = 11 = 1 :
    (-1)^1(2 times 1)! = -12 = -0,5
    Soma parcial: 1
  • Para (-1)^2(2 times 2)! = 124 approx 0,0416667 :
    (-1)^3(2 times 3)! = -1720 approx -0,0013889
    Soma parcial: (-1)^4(2 times 4)! = 140320 approx 0,0000248
  • Para :
    Soma parcial:
  • Para :
    Soma parcial:
  • Para :
    A magnitude deste termo é menor que 0,00005, então podemos parar aqui.

Passo 5

Agora, somamos os termos calculados até Soma aproximada approx 0,5402778 para obter a aproximação da soma da série:
Soma aproximada approx 0,5403
Para arredondar para quatro casas decimais, olhamos para o quinto decimal (7), que é maior que 5, então arredondamos o quarto decimal para cima:

Resposta

A aproximação da soma da série é .

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