Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada nesse exercício que temos aqui. A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de Séries Alternadas e os Testes de Convergência, que nos ajudam a determinar se uma série infinita se aproxima de um valor específico ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque os termos têm o fator
, que alterna o sinal de cada termo. Séries alternadas têm a forma
, onde
é uma sequência positiva.
Passo 3
Para testar a convergência dessa série, vamos utilizar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes: para todo a partir de algum índice. - O limite dos termos é zero:
.
Vamos verificar essas condições para
.
Passo 4
1. Verificando se
é decrescente:
Olha só, se a gente simplificar
, temos:
Ao aumentarmos
, o numerador cresce como a raiz de
, enquanto o denominador cresce linearmente. Isso faz com que
diminua conforme
cresce. Assim, os termos são decrescentes.
2. Calculando o limite de
quando
tende ao infinito:
Então, o limite dos termos é zero.
Passo 5
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série
converge.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, analisamos a série sem o termo alternado:
Aparece que isso se assemelha a uma série do tipo
, que sabemos que diverge (p-series com
).
Resposta
A série
converge condicionalmente.
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Evaluate
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(quatro casas decimais)