Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada nesse exercício que temos aqui. A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de Séries Alternadas e os Testes de Convergência, que nos ajudam a determinar se uma série infinita se aproxima de um valor específico ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque os termos têm o fator , que alterna o sinal de cada termo. Séries alternadas têm a forma , onde é uma sequência positiva.

Passo 3

Para testar a convergência dessa série, vamos utilizar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes: para todo a partir de algum índice.
  2. O limite dos termos é zero: .
Vamos verificar essas condições para .

Passo 4

1. Verificando se é decrescente:
Olha só, se a gente simplificar , temos:
Ao aumentarmos , o numerador cresce como a raiz de , enquanto o denominador cresce linearmente. Isso faz com que diminua conforme cresce. Assim, os termos são decrescentes.
2. Calculando o limite de quando tende ao infinito:
Então, o limite dos termos é zero.

Passo 5

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, analisamos a série sem o termo alternado:
Aparece que isso se assemelha a uma série do tipo , que sabemos que diverge (p-series com ).

Resposta

A série converge condicionalmente.

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