Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente os testes de convergência. Vamos precisar entender o que significa uma série ser absolutamente ou condicionalmente convergente e aplicar um teste adequado para verificar a convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, então a série é condicionalmente convergente. Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, a série é divergente.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos . Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a série converge. Para isso, podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é útil para séries com termos que envolvem potências de .

Passo 5

O Teste da Razão consiste em calcular o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão à nossa série dos valores absolutos:

Passo 7

Agora, calculamos o limite:
Observamos que se aproxima de 1 quando tende ao infinito. Portanto:

Passo 8

Como , pelo Teste da Razão, a série diverge. Isso significa que a série dos valores absolutos diverge.

Passo 9

Agora, precisamos verificar se a série original converge condicionalmente. Para isso, observamos que a série é alternada devido ao termo . Podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, então a série alternada converge.

Passo 10

Vamos verificar:
  1. é crescente, não decrescente.
  2. , que não é igual a zero.
Como não satisfaz as condições do Teste da Série Alternada, a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série é divergente.

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using polar coordinates.
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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.