Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente os testes de convergência. Vamos precisar entender o que significa uma série ser absolutamente ou condicionalmente convergente e aplicar um teste adequado para verificar a convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, então a série é condicionalmente convergente. Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, a série é divergente.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos . Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a série converge. Para isso, podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é útil para séries com termos que envolvem potências de .
Passo 5
O Teste da Razão consiste em calcular o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão à nossa série dos valores absolutos:
Passo 7
Agora, calculamos o limite:
Observamos que se aproxima de 1 quando tende ao infinito. Portanto:
Passo 8
Como , pelo Teste da Razão, a série diverge. Isso significa que a série dos valores absolutos diverge.
Passo 9
Agora, precisamos verificar se a série original converge condicionalmente. Para isso, observamos que a série é alternada devido ao termo . Podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, então a série alternada converge.
Passo 10
Vamos verificar:
é crescente, não decrescente.
, que não é igual a zero.
Como não satisfaz as condições do Teste da Série Alternada, a série não converge condicionalmente.