In this problem, we will evaluate the double integral
using polar coordinates.
(b) Rewrite the region using polar coordinates.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que reescrever a região usando coordenadas polares para resolver uma integral dupla. A matéria envolvida aqui são integrais duplas e mudança de coordenadas, especificamente de cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como transformar as variáveis e para e e como descrever a região nesse novo sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a mudança para coordenadas polares. Em coordenadas polares, cada ponto no plano é representado por , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo . As relações são:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:

Passo 3

Agora, vamos analisar a região que está definida pelas seguintes inequações:
Essa região descreve um semicírculo esquerdo de raio 2 no plano , já que varia de -2 a 0 e varia de a .

Passo 4

Para reescrever a região em coordenadas polares, vamos encontrar os limites para e .
Primeiro, o raio vai do centro do círculo até a borda. Como o raio do círculo é 2, temos:
Agora, vamos determinar os limites para o ângulo . Como estamos no semicírculo esquerdo, é de -2 a 0, o que corresponde a ângulos de a radianos (ou 90° a 270°). Então:

Passo 5

Resumindo, a região em coordenadas polares fica delimitada por:
Isso significa que para qualquer ponto dentro da região , o raio varia de 0 a 2 e o ângulo varia de a .

Resposta

A região reescrita em coordenadas polares é:

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