In this problem, we will evaluate the double integral
using polar coordinates.
(b) Rewrite the region using polar coordinates.
(b) Rewrite the region using polar coordinates.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que reescrever a região
usando coordenadas polares para resolver uma integral dupla. A matéria envolvida aqui são integrais duplas e mudança de coordenadas, especificamente de cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como transformar as variáveis
e
para
e
e como descrever a região
nesse novo sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a mudança para coordenadas polares. Em coordenadas polares, cada ponto no plano é representado por
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo
. As relações são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Passo 3
Agora, vamos analisar a região
que está definida pelas seguintes inequações:
Essa região descreve um semicírculo esquerdo de raio 2 no plano
, já que
varia de -2 a 0 e
varia de
a
.
Passo 4
Para reescrever a região
em coordenadas polares, vamos encontrar os limites para
e
.
Primeiro, o raio
vai do centro do círculo até a borda. Como o raio do círculo é 2, temos:
Agora, vamos determinar os limites para o ângulo
. Como estamos no semicírculo esquerdo,
é de -2 a 0, o que corresponde a ângulos de
a
radianos (ou 90° a 270°). Então:
Passo 5
Resumindo, a região
em coordenadas polares fica delimitada por:
Isso significa que para qualquer ponto dentro da região
, o raio
varia de 0 a 2 e o ângulo
varia de
a
.
Resposta
A região
reescrita em coordenadas polares é:
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