Evaluate
integral0^1 integral-raizx^raizx 11-y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular a integral dupla:
integral0^1 integral-raizx^raizx 11-y , dy , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e simplificar a expressão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a . Isso forma uma área simétrica em torno do eixo .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em integral-1^1 integraly^2^1 11-y , dx , dy e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em .
Para fazer isso, precisamos encontrar os novos limites de integração. Observando os limites originais:
  • varia de a
  • varia de 0 a 1
Ao trocar a ordem, vai de a (porque ) e, para cada , vai de a 1 (já que implica ).
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integração em integraly^2^1 11-y , dx = 11-y integraly^2^1 dx = 11-y (1 - y^2) . Note que 1 - y^21 - y = (1 - y)(1 + y)1 - y = 1 + y é uma constante em relação a , então podemos tirar isso de fora da integral:
Simplificando:

Passo 5

Agora, nossa integral ficou muito mais simples:
integral-1^1 (1 + y) , dy
Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de 1 em relação a integral-1^1 1 , dy = y |-1^1 = 1 - (-1) = 2 de integral-1^1 y , dy = y^22 |-1^1 = 12 - 12 = 0 a é:
  2. A integral de em relação a de a é:

Resposta

Somando os resultados acima:
2 + 0 = 2
Então, o valor da integral dupla é 2.

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