Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e simplificar a expressão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a . Isso forma uma área simétrica em torno do eixo .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em .
Para fazer isso, precisamos encontrar os novos limites de integração. Observando os limites originais:
varia de a
varia de 0 a 1
Ao trocar a ordem, vai de a (porque ) e, para cada , vai de a 1 (já que implica ).
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integração em . Note que é uma constante em relação a , então podemos tirar isso de fora da integral: