Evaluate
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e simplificar a expressão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a
. Isso forma uma área simétrica em torno do eixo
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Para fazer isso, precisamos encontrar os novos limites de integração. Observando os limites originais:
-
varia de a -
varia de 0 a 1
Ao trocar a ordem,
vai de
a
(porque
) e, para cada
,
vai de
a 1 (já que
implica
).
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integração em
. Note que
é uma constante em relação a
, então podemos tirar isso de fora da integral:
Simplificando:
Passo 5
Agora, nossa integral ficou muito mais simples:
Vamos integrar termo a termo:
-
A integral de 1 em relação a
de a é: -
A integral de
em relação a de a é:
Resposta
Somando os resultados acima:
Então, o valor da integral dupla é 2.