Evaluate

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e simplificar a expressão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a . Isso forma uma área simétrica em torno do eixo .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em .
Para fazer isso, precisamos encontrar os novos limites de integração. Observando os limites originais:
  • varia de a
  • varia de 0 a 1
Ao trocar a ordem, vai de a (porque ) e, para cada , vai de a 1 (já que implica ).
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integração em . Note que é uma constante em relação a , então podemos tirar isso de fora da integral:
Simplificando:

Passo 5

Agora, nossa integral ficou muito mais simples:
Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de 1 em relação a de a é:
  2. A integral de em relação a de a é:

Resposta

Somando os resultados acima:
Então, o valor da integral dupla é 2.

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