Aproxime a soma das séries para a precisão indicada. sumn=0^infty (-1)^n2^n n! (quatro casas decimais)

Passo 1

Resumo do Problema:
Queremos aproximar a soma da série infinita com uma precisão de quatro casas decimais. Para isso, vamos calcular os termos da série até que a contribuição de novos termos não afete mais as quatro casas decimais da soma final.

Passo 2

Entendendo a Série:
A série dada é alternada porque o sinal dos termos muda a cada passo devido ao . Além disso, cada termo é dividido por e por (fatorial de ). Esses fatores fazem com que os termos diminuam rapidamente à medida que aumenta.

Passo 3

Calculando os Termos da Série:
Vamos calcular os primeiros termos da série até que o próximo termo seja menor que (-1)^02^0 cdot 0! = 11 cdot 1 = 1 (que é (-1)^12^1 cdot 1! = -12 cdot 1 = -0,5 ), garantindo a precisão desejada.
  • Para (-1)^22^2 cdot 2! = 14 cdot 2 = 0,125 :
    (-1)^32^3 cdot 3! = -18 cdot 6 approx -0,0208333
  • Para (-1)^42^4 cdot 4! = 116 cdot 24 approx 0,0026042 :
    (-1)^52^5 cdot 5! = -132 cdot 120 approx -0,0002604
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Verificação da Precisão:
O termo para é aproximadamente . Como ainda é maior que , precisamos calcular mais um termo.
  • Para :
Agora, o termo para é aproximadamente , que é menor que em módulo. Portanto, podemos parar aqui, pois os próximos termos não vão afetar as quatro casas decimais da soma.

Resposta

Somando os termos calculados até 1 - 0,5 + 0,125 - 0,0208333 + 0,0026042 - 0,0002604 approx 0,6065105 :
0,6065
Arredondando para quatro casas decimais, a soma aproximada é:

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