Aproxime a soma das séries para a precisão indicada.
(quatro casas decimais)
Passo 1
Resumo do Problema:
Queremos aproximar a soma da série infinita com uma precisão de quatro casas decimais. Para isso, vamos calcular os termos da série até que a contribuição de novos termos não afete mais as quatro casas decimais da soma final.
Queremos aproximar a soma da série infinita
Passo 2
Entendendo a Série:
A série dada é alternada porque o sinal dos termos muda a cada passo devido ao . Além disso, cada termo é dividido por
e por
(fatorial de
). Esses fatores fazem com que os termos diminuam rapidamente à medida que
aumenta.
A série dada é alternada porque o sinal dos termos muda a cada passo devido ao
Passo 3
Calculando os Termos da Série:
Vamos calcular os primeiros termos da série até que o próximo termo seja menor que (que é
), garantindo a precisão desejada.
Vamos calcular os primeiros termos da série até que o próximo termo seja menor que
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Verificação da Precisão:
O termo para é aproximadamente
. Como ainda é maior que
, precisamos calcular mais um termo.
O termo para
- Para
:
Agora, o termo para
é aproximadamente
, que é menor que
em módulo. Portanto, podemos parar aqui, pois os próximos termos não vão afetar as quatro casas decimais da soma.
Resposta
Somando os termos calculados até
:
Arredondando para quatro casas decimais, a soma aproximada é:
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