Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais: integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^2 dado por F(x, y)=(1+cosh y, x sinh y) e a curva C é dada por sigma(t)=(sin t, 2 t / pi), 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha integralC F cdot d s, onde o campo vetorial F(x, y) = (1+cosh y, x sinh y) e a curva C é dada por sigma(t) = (sin t, 2tpi) para 0 <= t <= pi2. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que nos ajuda a calcular essa integral de forma mais fácil quando o campo vetorial é conservativo, ou seja, quando ele é o gradiente de uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Para isso, em duas dimensões, verificamos se partial F1partial y = partial F2partial x. Vamos calcular essas derivadas parciais:
partial F1partial y = partialpartial y(1 + cosh y) = sinh y
partial F2partial x = partialpartial x(x sinh y) = sinh y
Como partial F1partial y = partial F2partial x, o campo F é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que F é conservativo, existe uma função potencial f(x, y) tal que F = nabla f. Vamos encontrar essa função f integrando F1 em relação a x:
f(x, y) = integral F1 , dx = integral (1 + cosh y) , dx = x + x cosh y + g(y)
Aqui, g(y) é uma função de y que surge da integração. Agora, derivamos f em relação a y e igualamos a F2 para encontrar g(y):
partial fpartial y = x sinh y + g'(y) = F2 = x sinh y
Então, g'(y) = 0, o que implica que g(y) é uma constante. Podemos ignorar essa constante, já que ela se cancela na diferença.
Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = x + x cosh y

Passo 4

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, a integral integralC F cdot d s é igual à diferença dos valores da função potencial nos pontos final e inicial da curva C.
Vamos identificar os pontos inicial e final de C:
Para t = 0:
sigma(0) = (sin 0, 2 cdot 0pi) = (0, 0)
Para t = pi2:
sigma(pi2) = (sin pi2, 2 cdot pi2pi) = (1, 1)

Passo 5

Agora, calculamos a fun��ão potencial nos pontos final e inicial:
f(1, 1) = 1 + 1 cdot cosh 1 = 1 + cosh 1
f(0, 0) = 0 + 0 cdot cosh 0 = 0

Resposta

Então, a integral de linha é:
integralC F cdot d s = f(1, 1) - f(0, 0) = (1 + cosh 1) - 0 = 1 + cosh 1

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