Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais:
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
e a curva
é dada por
para
. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que nos ajuda a calcular essa integral de forma mais fácil quando o campo vetorial é conservativo, ou seja, quando ele é o gradiente de uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Para isso, em duas dimensões, verificamos se
. Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Vamos encontrar essa função
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Então,
, o que implica que
é uma constante. Podemos ignorar essa constante, já que ela se cancela na diferença.
Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, a integral
é igual à diferença dos valores da função potencial nos pontos final e inicial da curva
.
Vamos identificar os pontos inicial e final de
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, calculamos a fun��ão potencial nos pontos final e inicial:
Resposta
Então, a integral de linha é: