Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente testar se a série converge ou diverge. Aqui estamos lidando com uma série alternada porque os termos têm o fator , que faz os sinais alternarem entre positivo e negativo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e também verificar a Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes: .
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero: .
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se os termos são decrescentes.
Calculando o denominador , à medida que aumenta, também aumenta, então aumenta. Como é o inverso disso, diminui conforme aumenta. Portanto, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: se .
Calculando o limite:
Portanto, a segunda condição também está satisfeita.

Passo 5

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série converge.

Passo 6

Mas, para garantir completamente, vamos verificar se a série também converge absolutamente. Isso significa verificar se a série dos valores absolutos converge:
Vamos usar o Teste da Integral para verificar a convergência dessa série.

Passo 7

Consideramos a função , que é positiva, contínua e decrescente para . Calculamos a integral:
Fazendo a substituição , , mas a integral não converge porque o denominador cresce muito lentamente. Portanto, a integral diverge.

Passo 8

Como a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não converge absolutamente, mas apenas converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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