Um aquário contém 10 galões de água poluída. Um filtro é anexado a este aquário que remove a água poluída à taxa de 5 galões por
hora e a substitui ao mesmo tempo por água pura. Quanto tempo leva para reduzir a poluição à metade do seu nível inicial?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um aquário com 10 galões de água poluída. Um filtro começa a trabalhar, removendo 5 galões de água poluída por hora e substituindo por água pura ao mesmo tempo. A pergunta é: quanto tempo leva pra reduzir a poluição pela metade? Vamos usar conceitos de mistura e taxas de variação pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir quanto de poluição temos no começo. Chamamos isso de galões. Queremos saber quando galões, ou seja, a metade da poluição inicial.

Passo 3

O filtro remove 5 galões de água por hora, mas essa água removida não é totalmente pura. Ela contém a mesma concentração de poluição que o aquário naquele momento. Então, a taxa de remoção de poluição depende de , a quantidade de poluição no tempo .

Passo 4

A taxa de remoção de poluição pode ser expressa como:
Aqui, dividimos por 10 porque o aquário tem 10 galões no total.

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial simples:
Essa é uma equa��ão de decaimento exponencial. A solução geral dessa equação é:

Passo 6

Substituindo galões, temos:
Queremos encontrar o tempo quando galões.

Passo 7

Configurando a equação:
Dividindo os dois lados por 10:

Passo 8

Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Sabemos que , então:

Passo 9

Simplificando para encontrar :

Resposta

Leva aproximadamente 1,386 horas para reduzir a poluição à metade do nível inicial.

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99)
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