Um aquário contém 10 galões de água poluída. Um filtro é anexado a este aquário que remove a água poluída à taxa de 5 galões por
hora e a substitui ao mesmo tempo por água pura. Quanto tempo leva para reduzir a poluição à metade do seu nível inicial?
hora e a substitui ao mesmo tempo por água pura. Quanto tempo leva para reduzir a poluição à metade do seu nível inicial?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um aquário com 10 galões de água poluída. Um filtro começa a trabalhar, removendo 5 galões de água poluída por hora e substituindo por água pura ao mesmo tempo. A pergunta é: quanto tempo leva pra reduzir a poluição pela metade? Vamos usar conceitos de mistura e taxas de variação pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir quanto de poluição temos no começo. Chamamos isso de
galões. Queremos saber quando
galões, ou seja, a metade da poluição inicial.
Passo 3
O filtro remove 5 galões de água por hora, mas essa água removida não é totalmente pura. Ela contém a mesma concentração de poluição que o aquário naquele momento. Então, a taxa de remoção de poluição depende de
, a quantidade de poluição no tempo
.
Passo 4
A taxa de remoção de poluição pode ser expressa como:
Aqui, dividimos por 10 porque o aquário tem 10 galões no total.
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial simples:
Essa é uma equa��ão de decaimento exponencial. A solução geral dessa equação é:
Passo 6
Substituindo
galões, temos:
Queremos encontrar o tempo
quando
galões.
Passo 7
Configurando a equação:
Dividindo os dois lados por 10:
Passo 8
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Simplificando para encontrar
:
Resposta
Leva aproximadamente 1,386 horas para reduzir a poluição à metade do nível inicial.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
99)
99)
Encontre a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Considere a função
e o ponto
.
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto
.
Determine a equação do plano tangente à superfície
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
84)
84)