Encontre a equação do plano tangente à superfície z^2 = 3 x^2 + y^3 no ponto P = (1, 1, 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Isso está relacionado ao estudo de cálculo multivariável, mais especificamente ao cálculo de planos tangentes usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o plano tangente em um ponto a uma superfície pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. No nosso caso, a superfície é definida por . As derivadas parciais de em relação a , e vão nos ajudar a determinar a inclinação da superfície no ponto .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas representam as componentes do vetor normal ao plano tangente.

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Então, o vetor normal ao plano tangente no ponto é .

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Vamos simplificar essa equação:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais limpa:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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