Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Isso está relacionado ao estudo de cálculo multivariável, mais especificamente ao cálculo de planos tangentes usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o plano tangente em um ponto a uma superfície pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. No nosso caso, a superfície é definida por . As derivadas parciais de em relação a , e vão nos ajudar a determinar a inclinação da superfície no ponto .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas representam as componentes do vetor normal ao plano tangente.
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Então, o vetor normal ao plano tangente no ponto é .
Passo 5
Com o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Vamos simplificar essa equação:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais limpa:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: