Considere a função e o ponto .
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, , e um ponto específico . Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente à superfície dessa função no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e a equação geral do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de no ponto . Isso significa substituir e na função:
Então, a coordenada do ponto na superfície é .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções de e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :
Passo 5
Agora que temos e , podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo , e :
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
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