Considere a função e o ponto . Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, , e um ponto específico . Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente à superfície dessa função no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e a equação geral do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de no ponto . Isso significa substituir e na função: Então, a coordenada do ponto na superfície é .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções de e . Primeiro, a derivada parcial em relação a : Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto . Para : Para :

Passo 5

Agora que temos e , podemos usar a fórmula do plano tangente: Substituindo , e :

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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