Considere a função f(x, y) = x^2 * y - ln(5 * x - 3 * y) e o ponto P = (2, 3).
Determine a equação do plano tangente à superfície z = f(x, y) no ponto P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, , e um ponto específico . Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente à superfície dessa função no ponto P. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e a equação geral do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f no ponto P. Isso significa substituir x = 2 e na função:
Então, a coordenada z do ponto P na superfície é .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções de x e y.
Primeiro, a derivada parcial em relação a x:
Agora, a derivada parcial em relação a y:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

Agora que temos e , podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo , e :

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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