Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
99) integral e^2 x d x2+e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^2 x , dx2+e^2 x. Esse exercício envolve técnicas de integração, especificamente a substituição. Vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos simplificar usando uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar u = 2 + e^2x. Isso ajuda a transformar a integral em algo mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando:
dudx = 2 e^2x
Então, podemos rearranjar para encontrar dx:
dx = du2 e^2x

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral e^2x2 + e^2x dx = integral e^2xu cdot du2 e^2x = integral 12u du
Note que e^2x cancelou na expressão.

Passo 5

Agora, a integral está muito mais simples:
integral 12u du = 12 integral 1u du
A integral de 1u em relação a u é ln|u|.

Passo 6

Integrando, temos:
12 ln|u| + C
Agora, substituímos u de volta para termos em termos de x.

Passo 7

Lembrando que u = 2 + e^2x, a solução final é:
12 ln|2 + e^2x| + C

Resposta

A integral é igual a 12 ln(2 + e^2x) + C.

Exercícios relacionados