Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
99)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve técnicas de integração, especificamente a substituição. Vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos simplificar usando uma substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar
. Isso ajuda a transformar a integral em algo mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Calculando:
Então, podemos rearranjar para encontrar
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Note que
cancelou na expressão.
Passo 5
Agora, a integral está muito mais simples:
A integral de
em relação a
é
.
Passo 6
Integrando, temos:
Agora, substituímos
de volta para termos em termos de
.
Passo 7
Lembrando que
, a solução final é:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Um tanque contém 100 galões de salmoura em que 40 libras de sal estão dissolvidas. Deseja-se reduzir a concentração de sal para 0,1 libras por galão, despejando água pura à taxa de 5 galões por minuto e permitindo que a mistura (que é mantida uniforme por agitação) flua para fora à mesma taxa. Quanto tempo isso levará?
Um aquário contém 10 galões de água poluída. Um filtro é anexado a este aquário que remove a água poluída à taxa de 5 galões por
hora e a substitui ao mesmo tempo por água pura. Quanto tempo leva para reduzir a poluição à metade do seu nível inicial?
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Considere a função
e o ponto
.
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto
.
Determine a equação do plano tangente à superfície