Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
84) cdot integral x e^-3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x e^-3x dx. O conteúdo que vamos usar aqui é o método de integração por partes. Para isso, precisamos identificar partes da função que serão atribuídas a e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será e o que será . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada, e como aquela que conseguimos integrar facilmente.
Aqui, vamos definir:
  • (porque a derivada de é simples)
  • (já que podemos integrar )

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = dx e v = integral e^-3x dx = -13 e^-3x .
  • Derivando :
  • Integrando para encontrar :

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^-3x dx = x (-13 e^-3x) - integral (-13 e^-3x) dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
= -13 x e^-3x + 13 integral e^-3x dx
Agora, integramos integral e^-3x dx = -13 e^-3x + C :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
= -13 x e^-3x + 13 (-13 e^-3x) + C
= -13 x e^-3x - 19 e^-3x + C

Resposta

A integral resolve-se como:
integral x e^-3x dx = -13 x e^-3x - 19 e^-3x + C

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