Um aquecedor de 200 W tem um invólucro esférico de diâmetro de 0,2 m 0 coeficiente de transferência de calor para condução e convecção do invólucro para 0 ar ambiente é obtido de Nu=2+0,6 Re^1 / 2 Pr^1 / 3, com Re=10^4 e Pr=0,69. A temperatura do ar ambiente é 30^circ C e a condutividade térmica do ar é k=0,02 W/m.K. Encontre a temperatura da superfície em estado estacionário do invólucro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um aquecedor de 200 W com um invólucro esférico de diâmetro 0,2 metros. Queremos descobrir qual é a temperatura da superfície desse invólucro quando tudo está estabilizado, ou seja, em estado estacionário. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção, além das fórmulas relacionadas aos números de Nusselt (Nu), Reynolds (Re) e Prandtl (Pr).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em estado estacionário, a potência fornecida pelo aquecedor (200 W) é igual à potência perdida por transferência de calor do invólucro para o ambiente. Isso dá a gente a equação:
Q>=rada = Qperdida

Passo 3

A potência perdida por transferência de calor por convecção pode ser calculada pela fórmula:
Qperdida = h cdot A cdot (Tsuperfície - Tambiente) í
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor
  • é a área da superfície do invólucro
  • í é a temperatura que queremos encontrar
  • é a temperatura do ar ambiente, que é

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente de transferência de calor Nu = h cdot Dk usando o número de Nusselt (Nu). A relação entre eles é:
h = Nu cdot kD
Onde:
  • é o diâmetro do invólucro ( )
  • é a condutividade térmica do ar ( )
Rearranjando para encontrar :

Passo 5

Vamos calcular o número de Nusselt (Nu) usando a fórmula fornecida:
Nu = 2 + 0,6 cdot Re^1/2 cdot Pr^1/3
Substituindo os valores dados:
  • Re^1/2 = (10^4)^1/2 = 100
  • Pr^1/3 = (0,69)^1/3 approx 0,88
Calculando cada parte:
Nu = 2 + 0,6 cdot 100 cdot 0,88 = 2 + 52,8 = 54,8
Agora, plugando de volta na equação de Nu:

Passo 6

Agora que temos Nu, vamos encontrar h = 54,8 cdot 0,020,2 = 1,0960,2 = 5,48 W/m^2K :

Passo 7

Em seguida, vamos calcular a área A = pi D^2 = pi (0,2)^2 = pi cdot 0,04 approx 0,126 m^2 do invólucro esférico:

Passo 8

Agora, substituímos tudo na equação da potência perdida e igualamos à potência gerada:
200 = 5,48 cdot 0,126 cdot (Tsuperfície - 30) í
Primeiro, multiplicamos 5,48 cdot 0,126 approx 0,69 por 200 = 0,69 cdot (Tsuperfície - 30) :
Então:
í

Passo 9

Agora, isolamos Tsuperfície - 30 = 2000,69 approx 289,86 í:
Tsuperfície = 289,86 + 30 approx 319,86^circ C í
í

Resposta

A temperatura da superfície do invólucro em estado estacionário é aproximadamente .

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