Uma casca esférica de raios R1 e R2 é feita de material com condutividade térmica k=k0 T^3. Deduza a expressão para a taxa de transferência de calor quando as superfícies interna e externa da casca são mantidas a T1 e T2, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca esférica com raios internos R1 e externos R2. Essa casca é feita de um material cuja condutividade térmica depende da temperatura, seguindo a relação k = k0 T^3. As superfícies interna e externa estão mantidas a temperaturas T1 e T2, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a taxa de transferência de calor nessa casca. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor em coordenadas esféricas e considerar a dependência da condutividade térmica com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral para a condução de calor em coordenadas esféricas para uma situação estacionária (sem variação no tempo) e simétrica radialmente. A equação é:
q = -k cdot A cdot dTdr
Onde:
  • q é a taxa de transferência de calor;
  • k é a condutividade térmica;
  • A é a área da superfície esférica, que depende do raio r;
  • dTdr é o gradiente de temperatura.
No nosso caso, A = 4pi r^2.

Passo 3

Como a condutividade térmica k depende da temperatura, ou seja, k = k0 T^3, precisamos levar isso em conta na equação. Além disso, como a transferência de calor é constante através de todas as camadas da casca, podemos igualar as expressões para diferentes raios r.
Então, temos:
q = -k0 T^3 cdot 4pi r^2 cdot dTdr

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis de temperatura e raio:
dTT^3 = -q4pi k0 cdot drr^2
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação, onde os limites de integração para a temperatura vão de T1 a T2 e para o raio de R1 a R2.

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
integralT1^T2 dTT^3 = [ -12T^2 ]T1^T2 = 12( 1T1^2 - 1T2^2 )
E integrando o lado direito:
integralR1^R2 -q4pi k0 cdot drr^2 = -q4pi k0 [ 1r ]R1^R2 = -q4pi k0 ( 1R2 - 1R1 )

Passo 6

Igualando as duas expressões obtidas nas integrações:
12( 1T1^2 - 1T2^2 ) = -q4pi k0 ( 1R2 - 1R1 )
Agora, vamos resolver para q.

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 4pi k0:
2pi k0 ( 1T1^2 - 1T2^2 ) = -q ( 1R2 - 1R1 )
Agora, isolando q:
q = -2pi k0 ( 1T1^2 - 1T2^2 )( 1R2 - 1R1 )

Resposta

A taxa de transferência de calor é dada por:
q = 2pi k0 ( 1T1^2 - 1T2^2 )( 1R1 - 1R2 )

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