Uma casca esférica de raios
e
é feita de material com condutividade térmica
. Deduza a expressão para a taxa de transferência de calor quando as superfícies interna e externa da casca são mantidas a
e
, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca esférica com raios internos
e externos
. Essa casca é feita de um material cuja condutividade térmica depende da temperatura, seguindo a relação
. As superfícies interna e externa estão mantidas a temperaturas
e
, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a taxa de transferência de calor nessa casca. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor em coordenadas esféricas e considerar a dependência da condutividade térmica com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral para a condução de calor em coordenadas esféricas para uma situação estacionária (sem variação no tempo) e simétrica radialmente. A equação é:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor; -
é a condutividade térmica; -
é a área da superfície esférica, que depende do raio ; -
é o gradiente de temperatura.
No nosso caso,
.
Passo 3
Como a condutividade térmica
depende da temperatura, ou seja,
, precisamos levar isso em conta na equação. Além disso, como a transferência de calor é constante através de todas as camadas da casca, podemos igualar as expressões para diferentes raios
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis de temperatura e raio:
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação, onde os limites de integração para a temperatura vão de
a
e para o raio de
a
.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Passo 6
Igualando as duas expressões obtidas nas integrações:
Agora, vamos resolver para
.
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolando
:
Resposta
A taxa de transferência de calor é dada por: