Uma casca esférica de raios e é feita de material com condutividade térmica . Deduza a expressão para a taxa de transferência de calor quando as superfícies interna e externa da casca são mantidas a e , respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca esférica com raios internos e externos . Essa casca é feita de um material cuja condutividade térmica depende da temperatura, seguindo a relação . As superfícies interna e externa estão mantidas a temperaturas e , respectivamente. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a taxa de transferência de calor nessa casca. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor em coordenadas esféricas e considerar a dependência da condutividade térmica com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral para a condução de calor em coordenadas esféricas para uma situação estacionária (sem variação no tempo) e simétrica radialmente. A equação é:
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor;
  • é a condutividade térmica;
  • é a área da superfície esférica, que depende do raio ;
  • é o gradiente de temperatura.
No nosso caso, .

Passo 3

Como a condutividade térmica depende da temperatura, ou seja, , precisamos levar isso em conta na equação. Além disso, como a transferência de calor é constante através de todas as camadas da casca, podemos igualar as expressões para diferentes raios .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis de temperatura e raio:
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação, onde os limites de integração para a temperatura vão de a e para o raio de a .

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:

Passo 6

Igualando as duas expressões obtidas nas integrações:
Agora, vamos resolver para .

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por :
Agora, isolando :

Resposta

A taxa de transferência de calor é dada por:

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