Um aquecedor de 200 W tem um invólucro esférico de diâmetro de 0,2 m 0 coeficiente de transferência de calor para condução e convecção do invólucro para 0 ar ambiente é obtido de Nu=2+0,6 Re^1 / 2 Pr^1 / 3, com Re=10^4 e Pr=0,69. A temperatura do ar ambiente é 30^circ C e a condutividade térmica do ar é k=0,02 W/m.K. Encontre a temperatura do invólucro em estado estacionário para ar estagnado. Por que essa situação é fisicamente inviável?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um aquecedor de 200 W com um invólucro esférico de diâmetro 0,2 metros. Queremos achar a temperatura desse invólucro em estado estacionário quando o ar está parado ao redor. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção, utilizando os números de Nusselt (Nu), Reynolds (Re) e Prandtl (Pr).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada número representa:
  • Número de Nusselt (Nu): Relaciona a transferência de calor por convecção com a transferência por condução.
  • Número de Reynolds (Re): Indica o regime do fluxo, se é laminar ou turbulento.
  • Número de Prandtl (Pr): Relaciona as propriedades do fluido, especificamente a viscosidade e a difusividade térmica.
No nosso caso, já temos os valores de Re e Pr:
Re = 10^4 e Pr = 0,69

Passo 3

Vamos calcular o número de Nusselt usando a fórmula fornecida:
Nu = 2 + 0,6 cdot Re^1/2 cdot Pr^1/3
Primeiro, calculamos Re^1/2 = (10^4)^1/2 = 100 :
Pr^1/3 = (0,69)^1/3 approx 0,88
Em seguida, calculamos Nu = 2 + 0,6 cdot 100 cdot 0,88 = 2 + 52,8 = 54,8 :
Agora, substituímos na fórmula de Nu:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o coeficiente de transferência de calor Nu = h cdot Dk usando a relação entre Nu e h:
h = Nu cdot kD = 54,8 cdot 0,020,2 = 1,0960,2 = 5,48, W/m^2·K
Onde:
  • é o diâmetro do invólucro ( )
  • é a condutividade térmica do ar ( )
Rearranjando para encontrar :

Passo 5

Vamos calcular a área da superfície esférica do invólucro para usar na transferência de calor. A área A = 4pi r^2 de uma esfera é dada por:
A = 4pi (0,1)^2 = 4pi cdot 0,01 = 0,04pi, m^2 approx 0,1256, m^2
Como o diâmetro , o raio . Então:

Passo 6

Sabemos que a potência Q = h cdot A cdot De é igual à transferência de calor:
De
Queremos encontrar , a diferença de temperatura entre o invólucro e o ar ambiente:

Resposta

A temperatura do invólucro em estado estacionário é aproximadamente . Essa situação é fisicamente inviável porque, na prática, a presença de ar estagnado não permite essa enorme diferença de temperatura sem que ocorra movimentação natural do ar para dissipar o calor, evitando o superaquecimento extremo do invólucro.

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