Um aquecedor elétrico, capaz de gerar 10000 W , deve ser projetado. O elemento de aquecimento deve ser um fio de aço inoxidável apresentado resistividade elétrica de ohm-centímetro. A temperatura operacional do aço inoxidável não deve exceder . O coeficiente mínimo de transferência de calor previsto na superfície externa é de , em um meio cuja temperatura máxima será de . Um transformador capaz de liberar corrente elétrica a 9 e 12 V está disponível. Determine o tamanho adequado do fio, a corrente necessária e argumente sobre o efeito que seria provocado pela redução no coeficiente de transferência de calor. Sugestão: Demonstre primeiro que a queda de temperatura entre o centro e a superfície do fio é independente do seu diâmetro, e determine o seu valor.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos precisar. Precisamos projetar um aquecedor elétrico que gera 10.000 W usando um fio de aço inoxidável com resistividade elétrica de ohm-centímetro. A temperatura operacional não pode exceder , e devemos considerar um coeficiente de transferência de calor mínimo de em um meio com temperatura máxima de . Além disso, temos transformadores que fornecem 9 V e 12 V. Vamos precisar de conceitos de resistência elétrica, potência elétrica, transferência de calor por convecção e propriedades dos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos demonstrar que a queda de temperatura entre o centro e a superfície do fio é independente do seu diâmetro. Consideramos o fio em regime estacionário, onde a geração de calor interna é equilibrada pela perda de calor por convecção na superfície.
A equação de equilíbrio térmico é:
Onde:
  • é a potência gerada,
  • é o volume do fio,
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é a área superficial do fio,
  • é a queda de temperatura.
Substituindo pela expressão da geração de calor interna e sabendo que , onde é o comprimento e é a área da seção transversal, percebemos que o diâmetro cancela na equação, resultando em:
Assim, não depende do diâmetro do fio.

Passo 3

Agora, vamos determinar o valor da queda de temperatura . Sabemos que a temperatura operacional é e a temperatura do meio é .
Então:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a área superficial necessária para dissipar a potência de 10.000 W com o coeficiente de transferência de calor e a queda de temperatura .
Usando a fórmula da transferência de calor por convecção:
Rearranjando para :

Passo 5

Vamos relacionar a área superficial com o diâmetro do fio . Para um fio cilíndrico:
Onde é o comprimento do fio. Precisamos expressar em função da resistividade e resistência.
A resistência do fio é dada por:
Onde . Como a potência e , podemos combinar as equações para encontrar e .

Passo 6

Considerando as opções de tensão do transformador, vamos calcular a corrente necessária para cada tensão.
Para :
Para :
Esses valores de corrente são extremamente altos, indicando que tensões mais elevadas seriam mais práticas para o projeto real.

Passo 7

Agora, vamos determinar o diâmetro do fio usando a resistividade. Rearranjando a fórmula da resistência:
Como , temos:
Substituindo e usando os valores calculados de para cada tensão, podemos resolver para . No entanto, devido aos valores de corrente elevados, o diâmetro necessário seria impraticável, reforçando a necessidade de uma tensão maior ou um material com menor resistividade.

Passo 8

Finalmente, vamos argumentar sobre o efeito da redução no coeficiente de transferência de calor . Se diminuir, para manter a mesma dissipação de calor , a área superficial precisaria aumentar ou a queda de temperatura precisaria aumentar. Isso poderia levar a um aumento na temperatura operacional do fio, possivelmente excedendo os limites seguros e danificando o material.

Resposta

O diâmetro adequado do fio de aço inoxidável deve ser dimensionado de forma que a queda de temperatura seja de independentemente do diâmetro. Com as tensões disponíveis de 9 V e 12 V, as correntes necessárias seriam aproximadamente 1111 A e 833 A, respectivamente. Reduzir o coeficiente de transferência de calor resultaria em maior temperatura operacional do fio, podendo ultrapassar os limites seguros e comprometer a integridade do aquecedor.

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