Uma esfera oca de raio interno e raio externo é aquecido eletricamente na superfície interna a um fluxo . Na superfície externa, há dissipação de calor por convecção, para um fluido à temperatura , com um coeficiente de calor h . A condutividade térmica k do sólido é constante.
a) Qual é o perfil de temperatura. b) Calcule as temperaturas das superfícies interna e externa. Onde , e q

Passo 1

Então, você tem uma esfera oca com um raio interno e um raio externo . A esfera está sendo aquecida eletricamente na superfície interna com um fluxo de calor . Na superfície externa, o calor está sendo dissipado por convecção para um fluido que está a uma temperatura ambiente de , com um coeficiente de transferência de calor . A condutividade térmica do material da esfera é . Vamos precisar usar conceitos de condução de calor em estado estacionário e transferência de calor por convecção para resolver este problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o perfil de temperatura. Isso quer dizer que queremos achar como a temperatura varia do raio interno até o raio externo da esfera.

Passo 3

Na condução de calor em estado estacionário para uma esfera oca, a equação diferencial que descreve o perfil de temperatura é dada por:
Isso porque, em estado estacionário, não há variação temporal de temperatura.

Passo 4

Resolvendo essa equação diferencial, integramos uma vez:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Integrando novamente, temos:
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno. Na superfície interna ( ), temos um fluxo de calor fixo . A relação entre o fluxo de calor e a derivada da temperatura é:
Substituindo a derivada de :
Portanto, podemos achar :

Passo 7

Na superfície externa ( ), o calor é dissipado por convecção. A condição de contorno é:
Substituindo a derivada de :
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos da etapa 6 nesta equação:
Simplificando:

Passo 9

Resolvendo para :

Resposta

As temperaturas das superfícies são:
e
Substituindo os valores fornecidos:
E para :
Então, a temperatura na superfície interna é aproximadamente e na superfície externa é .

Exercícios relacionados

Uma canalização de ferro fundido novo, com 250 mm de diâmetro é alimentada por um reservatório cujo nível está na cota 220. Calcular a pressão no ponto de cota 180, a 1500m do reservatório, para a vazão de 40 1/s. :
Considerando que a força resistente de um navio é uma função da viscosidade absoluta da massa específica do fluido , da velocidade , da aceleração da gravidade e do tamanho (fator de comprimento ) do navio, estabelecer a fórmula da força resistente.
ç
Um modelo de um vertedor é construído na escala . Se a velocidade e a descarga do modelo são e respectivamente, quais serão os valores correspondentes para o protótipo?
Um aquecedor elétrico, capaz de gerar 10000 W , deve ser projetado. O elemento de aquecimento deve ser um fio de aço inoxidável apresentado resistividade elétrica de ohm-centímetro. A temperatura operacional do aço inoxidável não deve exceder . O coeficiente mínimo de transferência de calor previsto na superfície externa é de , em um meio cuja temperatura máxima será de . Um transformador capaz de liberar corrente elétrica a 9 e 12 V está disponível. Determine o tamanho adequado do fio, a corrente necessária e argumente sobre o efeito que seria provocado pela redução no coeficiente de transferência de calor. Sugestão: Demonstre primeiro que a queda de temperatura entre o centro e a superfície do fio é independente do seu diâmetro, e determine o seu valor.