Uma esfera oca de raio interno r=a e raio externo r=b é aquecido eletricamente na superfície interna a um fluxo q 0 W / m^2. Na superfície externa, há dissipação de calor por convecção, para um fluido à temperatura T infty, com um coeficiente de calor h . A condutividade térmica k do sólido é constante.
a) Qual é o perfil de temperatura. b) Calcule as temperaturas das superfícies interna e externa. Onde a=3 cm, b=5 cm, h=400 W / m^2 ^circ C, T infty=100^circ C, k=15 W /(m ^circ C) e q 0=10^5 W / m^2

Passo 1

Então, você tem uma esfera oca com um raio interno a = 3,cm e um raio externo b = 5,cm. A esfera está sendo aquecida eletricamente na superfície interna com um fluxo de calor q0 = 10^5,W/m^2. Na superfície externa, o calor está sendo dissipado por convecção para um fluido que está a uma temperatura ambiente de Tinfty = 100^circ,C, com um coeficiente de transferência de calor h = 400,W/(m^2cdot^circC). A condutividade térmica do material da esfera é k = 15,W/(mcdot^circC). Vamos precisar usar conceitos de condução de calor em estado estacionário e transferência de calor por convecção para resolver este problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o perfil de temperatura. Isso quer dizer que queremos achar como a temperatura varia do raio interno a até o raio externo b da esfera.

Passo 3

Na condução de calor em estado estacionário para uma esfera oca, a equação diferencial que descreve o perfil de temperatura T(r) é dada por:
1r^2 ddr(r^2 dTdr) = 0
Isso porque, em estado estacionário, não há variação temporal de temperatura.

Passo 4

Resolvendo essa equação diferencial, integramos uma vez:
r^2 dTdr = C1
Onde C1 é a constante de integração.

Passo 5

Integrando novamente, temos:
T(r) = -C1r + C2
Aqui, C2 é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno. Na superfície interna ( r = a), temos um fluxo de calor fixo q0. A relação entre o fluxo de calor e a derivada da temperatura é:
-q0 = -k dTdr|r=a
Substituindo a derivada de T(r):
q0 = k C1a^2
Portanto, podemos achar C1:
C1 = q0 a^2k

Passo 7

Na superfície externa ( r = b), o calor é dissipado por convecção. A condição de contorno é:
-k dTdr|r=b = h (T(b) - Tinfty)
Substituindo a derivada de T(r):
- k (-C1b^2) = h (T(b) - Tinfty)
Simplificando:
k C1b^2 = h (T(b) - Tinfty)

Passo 8

Agora, substituímos C1 da etapa 6 nesta equação:
k cdot q0 a^2kb^2 = h (T(b) - Tinfty)
Simplificando:
q0 a^2b^2 = h (T(b) - Tinfty)

Passo 9

Resolvendo para T(b):
T(b) = q0 a^2h b^2 + Tinfty

Resposta

As temperaturas das superfícies são:
T(a) = q0 a3 k + T(b)
e
T(b) = q0 a^2h b^2 + Tinfty
Substituindo os valores fornecidos:
T(b) = 10^5, W/m^2 cdot (0,03,m)^2400,W/(m^2cdot^circC) cdot (0,05,m)^2 + 100^circ,C = 100^circ,C + 10^5 cdot 0,0009400 cdot 0,0025 = 100^circ,C + 90^circ,C = 190^circ,C
E para T(a):
T(a) = 10^5, W/m^2 cdot 0,03,m3 cdot 15,W/(mcdot^circC) + 190^circ,C = 300045 + 190 = 66,67^circ,C + 190^circ,C = 256,67^circ,C
Então, a temperatura na superfície interna é aproximadamente 256,67^circ,C e na superfície externa é 190^circ,C.

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