Uma esfera oca de raio interno e raio externo é aquecido eletricamente na superfície interna a um fluxo . Na superfície externa, há dissipação de calor por convecção, para um fluido à temperatura , com um coeficiente de calor h . A condutividade térmica k do sólido é constante.
a) Qual é o perfil de temperatura. b) Calcule as temperaturas das superfícies interna e externa. Onde , e q
Passo 1
Então, você tem uma esfera oca com um raio interno e um raio externo . A esfera está sendo aquecida eletricamente na superfície interna com um fluxo de calor . Na superfície externa, o calor está sendo dissipado por convecção para um fluido que está a uma temperatura ambiente de , com um coeficiente de transferência de calor . A condutividade térmica do material da esfera é . Vamos precisar usar conceitos de condução de calor em estado estacionário e transferência de calor por convecção para resolver este problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o perfil de temperatura. Isso quer dizer que queremos achar como a temperatura varia do raio interno até o raio externo da esfera.
Passo 3
Na condução de calor em estado estacionário para uma esfera oca, a equação diferencial que descreve o perfil de temperatura é dada por:
Isso porque, em estado estacionário, não há variação temporal de temperatura.
Passo 4
Resolvendo essa equação diferencial, integramos uma vez:
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Integrando novamente, temos:
Aqui, é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno. Na superfície interna (), temos um fluxo de calor fixo . A relação entre o fluxo de calor e a derivada da temperatura é:
Substituindo a derivada de :
Portanto, podemos achar :
Passo 7
Na superfície externa (), o calor é dissipado por convecção. A condição de contorno é:
Substituindo a derivada de :
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos da etapa 6 nesta equação:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo para :
Resposta
As temperaturas das superfícies são:
e
Substituindo os valores fornecidos:
E para :
Então, a temperatura na superfície interna é aproximadamente e na superfície externa é .