Circuitos elétricos
Um circuito
com um resistor de
e um indutor de
é alimentado por uma tensão
. Se a corrente inicial no indutor é zero, determine as tensões subsequentes no resistor e no indutor e a corrente.
Um circuito
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um circuito elétrico que combina um resistor de
e um indutor de
. Esse circuito está recebendo uma tensão que varia com o tempo, dada por
volts. A corrente inicial no indutor é zero. Nosso objetivo é descobrir como variam, com o tempo, as tensões no resistor (
) e no indutor (
), assim como a corrente no circuito (
). Para isso, vamos usar conceitos básicos de circuitos RL e resolver uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RL (que tem resistor e indutor) a tensão total fornecida pela fonte (
) é a soma das tensões no resistor (
) e no indutor (
). Matemáticamente, isso fica assim:
Sabemos que a tensão no resistor é dada por
, onde
é a resistência. E a tensão no indutor é
, onde
é a indutância. Substituindo essas expressões na equação da tensão total, temos:
Simplificando, fica:
Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar
.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem. A equação é:
Primeiro, vamos dividir todos os termos por
para simplificar:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Onde
é o coeficiente de
na equação diferencial, que nesse caso é 100. Assim,
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração. Vamos resolver a integral à direita. Sabemos que:
Aqui,
e
. Aplicando isso:
Simplificando:
Então, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que a corrente inicial no indutor é zero, ou seja,
.
Substituindo
na equação de
:
Então, substituindo
de volta na equação de
:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora que temos a expressão para
, podemos encontrar as tensões no resistor e no indutor.
Tensão no resistor (
):
Tensão no indutor (
):
A tensão no indutor é dada por:
Vamos calcular a derivada de
:
Então,
Passo 7
Resumindo, as soluções encontradas são:
- Corrente no circuito (
):
- Tensão no resistor (
):
- Tensão no indutor (
):
Resposta
As tensões no resistor e no indutor, assim como a corrente no circuito, são dadas por: