Circuitos elétricos
Um circuito RL com um resistor de 1 Omega e um indutor de 0,01 H é alimentado por uma tensão E(t)=sen 100 t V. Se a corrente inicial no indutor é zero, determine as tensões subsequentes no resistor e no indutor e a corrente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito elétrico que combina um resistor de 1,Omega e um indutor de 0,01,H. Esse circuito está recebendo uma tensão que varia com o tempo, dada por E(t) = sin(100t) volts. A corrente inicial no indutor é zero. Nosso objetivo é descobrir como variam, com o tempo, as tensões no resistor ( VR(t)) e no indutor ( VL(t)), assim como a corrente no circuito ( I(t)). Para isso, vamos usar conceitos básicos de circuitos RL e resolver uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RL (que tem resistor e indutor) a tensão total fornecida pela fonte ( E(t)) é a soma das tensões no resistor ( VR) e no indutor ( VL). Matemáticamente, isso fica assim:
E(t) = VR(t) + VL(t)
Sabemos que a tensão no resistor é dada por VR(t) = I(t) cdot R, onde R é a resistência. E a tensão no indutor é VL(t) = L cdot dI(t)dt, onde L é a indutância. Substituindo essas expressões na equação da tensão total, temos:
sin(100t) = I(t) cdot 1 + 0,01 cdot dI(t)dt
Simplificando, fica:
0,01 cdot dI(t)dt + I(t) = sin(100t)
Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar I(t).

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem. A equação é:
0,01 cdot dI(t)dt + I(t) = sin(100t)
Primeiro, vamos dividir todos os termos por 0,01 para simplificar:
dI(t)dt + 100 I(t) = 100 sin(100t)
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante ( mu(t)) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Onde P(t) é o coeficiente de I(t) na equação diferencial, que nesse caso é 100. Assim,
mu(t) = e^100t
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^100t cdot dI(t)dt + 100 e^100t I(t) = 100 e^100t sin(100t)
A esquerda da equação agora é a derivada do produto e^100t I(t), ou seja:
ddt ( e^100t I(t) ) = 100 e^100t sin(100t)

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar I(t):
integral ddt ( e^100t I(t) ) dt = integral 100 e^100t sin(100t) dt
A integral do lado esquerdo simplifica para:
e^100t I(t) = integral 100 e^100t sin(100t) dt + C
Onde C é a constante de integração. Vamos resolver a integral à direita. Sabemos que:
integral e^at sin(bt) dt = e^ata^2 + b^2 (a sin(bt) - b cos(bt)) + C
Aqui, a = 100 e b = 100. Aplicando isso:
integral 100 e^100t sin(100t) dt = 100 cdot e^100t100^2 + 100^2 (100 sin(100t) - 100 cos(100t)) + C
Simplificando:
= 100 e^100t20000 ( sin(100t) - cos(100t) ) + C
= e^100t200 ( sin(100t) - cos(100t) ) + C
Então, temos:
e^100t I(t) = e^100t200 ( sin(100t) - cos(100t) ) + C
Dividindo ambos os lados por e^100t:
I(t) = 1200 ( sin(100t) - cos(100t) ) + C e^-100t

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante C. Sabemos que a corrente inicial no indutor é zero, ou seja, I(0) = 0.
Substituindo t = 0 na equação de I(t):
0 = 1200 ( sin(0) - cos(0) ) + C e^0
0 = 1200 (0 - 1) + C
0 = -1200 + C
C = 1200
Então, substituindo C de volta na equação de I(t):
I(t) = 1200 ( sin(100t) - cos(100t) ) + 1200 e^-100t
Podemos fatorar 1200:
I(t) = 1200 ( sin(100t) - cos(100t) + e^-100t )

Passo 6

Agora que temos a expressão para I(t), podemos encontrar as tensões no resistor e no indutor.
Tensão no resistor ( VR(t)):
VR(t) = I(t) cdot R = I(t) cdot 1 = I(t)
VR(t) = 1200 ( sin(100t) - cos(100t) + e^-100t )
Tensão no indutor ( VL(t)):
A tensão no indutor é dada por:
VL(t) = L cdot dI(t)dt
Vamos calcular a derivada de I(t):
dI(t)dt = 1200 ( 100 cos(100t) + 100 sin(100t) - 100 e^-100t )
= 100200 ( cos(100t) + sin(100t) - e^-100t )
= 12 ( cos(100t) + sin(100t) - e^-100t )
Então,
VL(t) = 0,01 cdot 12 ( cos(100t) + sin(100t) - e^-100t )
= 0,012 ( cos(100t) + sin(100t) - e^-100t )
= 1200 ( cos(100t) + sin(100t) - e^-100t )

Passo 7

Resumindo, as soluções encontradas são:
  • Corrente no circuito ( I(t)):
I(t) = 1200 ( sin(100t) - cos(100t) + e^-100t ) , A
  • Tensão no resistor ( VR(t)):
VR(t) = 1200 ( sin(100t) - cos(100t) + e^-100t ) , V
  • Tensão no indutor ( VL(t)):
VL(t) = 1200 ( cos(100t) + sin(100t) - e^-100t ) , V

Resposta

As tensões no resistor e no indutor, assim como a corrente no circuito, são dadas por:
I(t) = dfrac1200 ( sin(100t) - cos(100t) + e^-100t ) , A VR(t) = dfrac1200 ( sin(100t) - cos(100t) + e^-100t ) , V VL(t) = dfrac1200 ( cos(100t) + sin(100t) - e^-100t ) , V

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