Deduza as expressões da diretividade (valor máximo e variação com a direção) das antenas que irradiam os campos elétricos abaixo:
a) lvert, & E(theta, phi)=(E mr cdot sin (theta)^10 cdot sin (phi)^12) if 0 <= phi <= pi & 0 otherwise
c) E(theta, phi)=E mr cdot sin (theta)^3
b) lvert, & E(theta, phi)=(Emr cdot sin (theta)^100 cdot sin (phi)^90) if 0 <= phi <= pi & 0 otherwise
d ) E(theta, phi)=E mr cdot sin (theta)^5

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito. O exercício pede para deduzir as expressões da diretividade das antenas que irradiam certos campos elétricos. Diretividade é uma medida de quão direcionada é a radiação de uma antena em comparação com uma antena isotrópica (que irradia igualmente em todas as direções). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a intensidade de radiação a partir do campo elétrico dado e depois determinar a diretividade a partir dessa intensidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a intensidade de radiação $ U(\theta, \phi) $ é proporcional ao quadrado do módulo do campo elétrico $ E(\theta, \phi) $. Ou seja:
U(theta, phi)

Passo 3

Vamos aplicar isso para cada caso dado. Começando com o item a):
E(theta, phi) = Emr cdot sin^10(theta) cdot sin^12(phi) & se 0 <= phi <= pi 0 & caso contrário á
Então, a intensidade de radiação será:
U(theta, phi) = ( Emr )^2 cdot sin^20(theta) cdot sin^24(phi)

Passo 4

A diretividade $ D(\theta, \phi) $ é a razão entre a intensidade de radiação em uma direção específica e a intensidade média radiante. Matematicamente:
D(theta, phi) é
Para encontrar $ U_{médio} $, precisamos calcular a potência total irradiada $ P_{total} $ e dividir pela área da esfera $ 4\pi r^2 $:
D(theta, phi) = U(theta, phi)Umédio é

Passo 5

A potência total irradiada é a integral da intensidade sobre toda a esfera:
Ptotal = integral0^2pi integral0^pi U(theta, phi) cdot r^2 sin(theta) , dtheta , dphi
Substituindo $ U(\theta, \phi) $:
U(theta, phi)
Simplificando:
Ptotal = ( Emr )^2 r^2 integral0^2pi integral0^pi sin^20(theta) cdot sin^24(phi) cdot sin(theta) , dtheta , dphi
Essas integrais podem ser resolvidas utilizando funções gama ou tabelas de integrais padrão.

Passo 6

Finalmente, substituímos $ U(\theta, \phi) $ e $ U_{médio} $ na expressão da diretividade:
U(theta, phi)
Isso nos dá a expressão da diretividade em função das direções $ \theta $ e $ \phi $. O valor máximo da diretividade ocorre onde $ \sin^{20}(\theta) \cdot \sin^{24}(\phi) $ é máximo, ou seja, quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $ e $ \phi = \frac{\pi}{2} $.

Resposta

A diretividade máxima da antena no item (a) ocorre nas direções $ \theta = \frac{\pi}{2} $ e $ \phi = \frac{\pi}{2} $, e a expressão completa da diretividade em função da direção é:
theta = pi2
Essa expressão mostra como a diretividade varia com as direções $ \theta $ e $ \phi $ para a antena especificada no item (a). Para os demais itens (b), © e (d), o procedimento é similar, substituindo os expoentes de $ \sin(\theta) $ e $ \sin(\phi) $ conforme dados em cada caso.

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