Aqui está a região de integração da integral
integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 d z d y d x
Reescreva a integral na forma de uma integral iterada equivalente na ordem
© d x d y d z

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem um exercício de cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente uma integral tripla. O que a gente precisa fazer aqui é mudar a ordem de integração da integral dada para a ordem . Para isso, vamos precisar entender a região de integração original e como ela se transforma quando reordenamos os diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original:
integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 d z, d y, d x
Aqui, a integração é feita em três etapas:
  1. vai de até
  2. vai de até
  3. vai de até
Isso significa que a região de integração está limitada por esses valores para , e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar ou descrever essa região no espaço tridimensional. Como varia de a independentemente das outras variáveis, podemos pensar que a região se estende de a .
Para , ele varia de a , e para cada fixo, vai de a . Como é negativo, é positivo. Então, vai de até um valor positivo que depende de .

Passo 4

Nossa missão é reescrever essa integral na ordem . Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração para , e .
Vamos começar fixando . Observamos que varia de até o quadrado de , ou seja, . Como varia de a , varia de a .
Portanto, varia de a .

Passo 5

Para cada valor fixo de y <= -raizz (já que y <= 0 ) , precisamos encontrar os limites de que satisfazem . Resolvendo para , temos:
á
Então, para cada , varia de até .

Passo 6

Finalmente, para cada par fixo de e , varia de até , como na integral original. Não há dependência de nas outras variáveis, então seus limites permanecem os mesmos.

Resposta

A integral reescrita na ordem integral0^1 integral-raizz^0 integral0^1 d x, d y, d z fica:

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