Aqui está a região de integração da integral
Reescreva a integral na forma de uma integral iterada equivalente na ordem
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Passo 1
Beleza! Então, a gente tem um exercício de cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente uma integral tripla. O que a gente precisa fazer aqui é mudar a ordem de integração da integral dada para a ordem
. Para isso, vamos precisar entender a região de integração original e como ela se transforma quando reordenamos os diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral original:
Aqui, a integração é feita em três etapas:
-
vai de até -
vai de até -
vai de até
Isso significa que a região de integração está limitada por esses valores para
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar ou descrever essa região no espaço tridimensional. Como
varia de
a
independentemente das outras variáveis, podemos pensar que a região se estende de
a
.
Para
, ele varia de
a
, e para cada
fixo,
vai de
a
. Como
é negativo,
é positivo. Então,
vai de
até um valor positivo que depende de
.
Passo 4
Nossa missão é reescrever essa integral na ordem
. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração para
,
e
.
Vamos começar fixando
. Observamos que
varia de
até o quadrado de
, ou seja,
. Como
varia de
a
,
varia de
a
.
Portanto,
varia de
a
.
Passo 5
Para cada valor fixo de
, precisamos encontrar os limites de
que satisfazem
. Resolvendo
para
, temos:
Então, para cada
,
varia de
até
.
Passo 6
Finalmente, para cada par fixo de
e
,
varia de
até
, como na integral original. Não há dependência de
nas outras variáveis, então seus limites permanecem os mesmos.
Resposta
A integral reescrita na ordem
fica: