Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar a convergência, a convergência absoluta ou a divergência da série:
Aqui, estamos lidando com uma série alternada devido ao termo . Para resolver isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência para séries alternadas e séries de termos positivos.
Passo 2
Vamos simplificar a série retirando o fator constante 0.75, já que ele não afeta a convergência:
Agora, focamos na série:
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se a série é alternada. De fato, o termo faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo à medida que aumenta.
Passo 4
Para séries alternadas, temos o Critério de Leibniz para testar a convergência. Esse critério diz que uma série da forma converge se:
Os termos são positivos.
é uma sequência decrescente.
.
Vamos verificar essas condições para .
Passo 5
1. Positividade: Como e são positivos para todo , é positivo.
2. Sequência decrescente: Vamos verificar se .
À medida que aumenta, o denominador cresce mais rapidamente que o numerador, fazendo com que diminua.
3. Limite zero: Calculando o limite de quando tende ao infinito:
Passo 6
Como todas as condições do Critério de Leibniz são satisfeitas, podemos concluir que a série alternada converge.
Passo 7
Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Passo 8
Observamos que para n^3n^5+1 approx n^3n^5 = 1n^2 grande, , então:
A série é uma série p com , que sabemos que converge.
Passo 9
Pelo Teste da Comparação, já que para todo , e a série converge, então a série dos valores absolutos também converge.