Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries (0.75) sumn=1^infty (-1)^n n^3n^5+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar a convergência, a convergência absoluta ou a divergência da série:
0.75 sumn=1^infty (-1)^n n^3n^5+1
Aqui, estamos lidando com uma série alternada devido ao termo . Para resolver isso, vamos precisar conhecer os testes de convergência para séries alternadas e séries de termos positivos.

Passo 2

Vamos simplificar a série retirando o fator constante 0.75, já que ele não afeta a convergência:
sumn=1^infty (-1)^n n^3n^5+1
Agora, focamos na série:
sumn=1^infty (-1)^n n^3n^5+1

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se a série é alternada. De fato, o termo faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo à medida que aumenta.

Passo 4

Para séries alternadas, temos o Critério de Leibniz para testar a convergência. Esse critério diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. é uma sequência decrescente.
  3. .
Vamos verificar essas condições para .

Passo 5

1. Positividade: Como an = n^3n^5+1 e an+1 = (n+1)^3(n+1)^5+1 e limn to infty n^3n^5+1 = limn to infty 1n^2 + 1n^3 = 0 são positivos para todo , é positivo.
2. Sequência decrescente: Vamos verificar se .
À medida que aumenta, o denominador cresce mais rapidamente que o numerador, fazendo com que diminua.
3. Limite zero: Calculando o limite de quando tende ao infinito:

Passo 6

Como todas as condições do Critério de Leibniz são satisfeitas, podemos concluir que a série alternada converge.

Passo 7

Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n n^3n^5+1 | = sumn=1^infty n^3n^5+1

Passo 8

Observamos que para n^3n^5+1 approx n^3n^5 = 1n^2 grande, , então:
A série é uma série p com , que sabemos que converge.

Passo 9

Pelo Teste da Comparação, já que para todo , e a série converge, então a série dos valores absolutos também converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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