Aqui está a região de integração da integral
integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 d z d y d x
Reescreva a integral na forma de uma integral iterada equivalente na ordem
(d) d x d z d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma integral tripla:
integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 dz , dy , dx
Estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente mudanças na ordem de integração. O que precisamos fazer é reescrever essa integral na ordem dx, dz, dy.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração definida pelos limites atuais. Temos três variáveis de integração: x, y e z.
  • x varia de 0 a 1
  • Para cada x, y varia de -1 a 0
  • Para cada y, z varia de 0 a y^2
Isso significa que estamos integrando sobre um volume onde x está entre 0 e 1, y está entre -1 e 0, e z está entre 0 e y^2.

Passo 3

Agora, queremos reescrever essa integral na ordem dx, dz, dy. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração para cada variável nessa ordem.
Vamos pensar em como as variáveis se relacionam:
  1. Para x: Originalmente, x varia independentemente de y e z, de 0 a 1.
  2. Para z: z varia de 0 a y^2. Como y está entre -1 e 0, y^2 varia de 0 a 1.
  3. Para y: Precisamos determinar para cada z, quais valores de y são possíveis.

Passo 4

Vamos determinar os novos limites:
  • y: Sabemos que y está entre -1 e 0. Mas como z = y^2, podemos reescrever isso para encontrar y em termos de z. Se z = y^2, então y = -raizz (já que y é negativo).
    Portanto, para cada z, y varia de -raizz a 0.
  • z: Como z = y^2 e y varia de -1 a 0, z varia de 0 a 1.
  • x: Continua variando de 0 a 1, independentemente de z e y.

Passo 5

Com os limites determinados, podemos reescrever a integral na nova ordem:
integral0^1 integral0^1 integral-raizz^0 dx , dz , dy

Resposta

A integral equivalente na ordem dx, dz, dy é:
integral0^1 integral0^1 integral-raizz^0 dx , dz , dy

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