Aqui está a região de integração da integral
Reescreva a integral na forma de uma integral iterada equivalente na ordem
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma integral tripla:
Estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente mudanças na ordem de integração. O que precisamos fazer é reescrever essa integral na ordem
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração definida pelos limites atuais. Temos três variáveis de integração:
,
e
.
-
varia de a - Para cada
, varia de a - Para cada
, varia de a
Isso significa que estamos integrando sobre um volume onde
está entre
e
,
está entre
e
, e
está entre
e
.
Passo 3
Agora, queremos reescrever essa integral na ordem
. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração para cada variável nessa ordem.
Vamos pensar em como as variáveis se relacionam:
- Para
: Originalmente, varia independentemente de e , de a . - Para
: varia de a . Como está entre e , varia de a . - Para
: Precisamos determinar para cada , quais valores de são possíveis.
Passo 4
Vamos determinar os novos limites:
-
: Sabemos que está entre e . Mas como , podemos reescrever isso para encontrar em termos de . Se , então (já que é negativo). Portanto, para cada, varia de a . -
: Como e varia de a , varia de a . -
: Continua variando de a , independentemente de e .
Passo 5
Com os limites determinados, podemos reescrever a integral na nova ordem:
Resposta
A integral equivalente na ordem
é: