Aqui está a região de integração da integral
Reescreva a integral na forma de uma integral iterada equivalente na ordem
(b)
(b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla dada por:
O conteúdo envolvido aqui é o de integrais múltiplas, especificamente a reordenação das variáveis de integração. Nosso objetivo é reescrever essa integral na ordem
. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles se relacionam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração originais:
- Para
: de 0 a 1. - Para
: de -1 a 0. - Para
: de 0 a .
Isso significa que, para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de -1 a 0, e para cada
,
varia de 0 até
.
Passo 3
Agora, queremos mudar a ordem de integração para
. Isso significa que precisamos expressar os limites de
em termos de
e
, os limites de
em termos de
, e os limites de
serão os mesmos ou ajustados conforme necessário.
Passo 4
Vamos visualizar a região de integração para entender melhor como redefinir os limites. Sabemos que:
-
varia de 0 a 1. -
varia de -1 a 0. -
varia de 0 a .
Como
, e
é negativo (de -1 a 0), podemos reescrever
. Isso nos ajuda a expressar
em termos de
.
Passo 5
Determinar os novos limites:
-
Para
: Observe que varia de 0 a . Como varia de -1 a 0, varia de 0 a 1. Portanto, varia de 0 a 1. -
Para
: Originalmente, não depende de ou , então continua variando de 0 a 1. -
Para
: Como e é negativo, varia de a 0.
Passo 6
Com esses limites definidos, podemos reescrever a integral na nova ordem
:
Resposta
A integral tripla reescrita na ordem
é: