Aqui está a região de integração da integral
integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 d z d y d x
Reescreva a integral na forma de uma integral iterada equivalente na ordem
(b) d y d x d z

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla dada por:
integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 dz , dy , dx
O conteúdo envolvido aqui é o de integrais múltiplas, especificamente a reordenação das variáveis de integração. Nosso objetivo é reescrever essa integral na ordem dy , dx , dz. Para isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração originais:
  • Para x: de 0 a 1.
  • Para y: de -1 a 0.
  • Para z: de 0 a y^2.
Isso significa que, para cada valor de x entre 0 e 1, y varia de -1 a 0, e para cada (x, y), z varia de 0 até y^2.

Passo 3

Agora, queremos mudar a ordem de integração para dy , dx , dz. Isso significa que precisamos expressar os limites de y em termos de x e z, os limites de x em termos de z, e os limites de z serão os mesmos ou ajustados conforme necessário.

Passo 4

Vamos visualizar a região de integração para entender melhor como redefinir os limites. Sabemos que:
  • x varia de 0 a 1.
  • y varia de -1 a 0.
  • z varia de 0 a y^2.
Como y^2 = z, e y é negativo (de -1 a 0), podemos reescrever y = -raizz. Isso nos ajuda a expressar y em termos de z.

Passo 5

Determinar os novos limites:
  1. Para z: Observe que z varia de 0 a y^2. Como y varia de -1 a 0, y^2 varia de 0 a 1. Portanto, z varia de 0 a 1.
  2. Para x: Originalmente, x não depende de y ou z, então continua variando de 0 a 1.
  3. Para y: Como z = y^2 e y é negativo, y varia de -raizz a 0.

Passo 6

Com esses limites definidos, podemos reescrever a integral na nova ordem dy , dx , dz:
integral0^1 integral0^1 integral-raizz^0 dy , dx , dz

Resposta

A integral tripla reescrita na ordem dy , dx , dz é:
integral0^1 integral0^1 integral-raizz^0 dy , dx , dz

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