Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries (0.5) sumk=1^infty[ln raizk+1-ln raizk]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a série . Nosso objetivo é analisar se essa série converge, converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, como séries telescópicas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Sabemos que ln raizk+1 - ln raizk = 12 ln(k+1) - 12 ln k = 12 [ln(k+1) - ln k] . Então, temos:

Passo 3

Aplicando a propriedade dos logaritmos ln(k+1) - ln k = ln(k+1k) = ln(1 + 1k) , podemos reescrever a diferença:
ln raizk+1 - ln raizk = 12 ln(1 + 1k)
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na série original:
0.5 sumk=1^infty [ln raizk+1 - ln raizk] = 0.5 cdot 12 sumk=1^infty ln(1 + 1k) = 0.25 sumk=1^infty ln(1 + 1k)

Passo 5

Observamos que a série é uma série telescópica. Isso significa que muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos.

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos para identificar o padrão:
ln(1 + 11) + ln(1 + 12) + ln(1 + 13) + dots + ln(1 + 1k)
Simplificando cada termo:
ln 2 + ln(32) + ln(43) + dots + ln(k+1k)

Passo 7

Ao somar esses termos, percebemos que os termos intermediários se cancelam:
ln 2 + ln(32) + ln(43) + dots + ln(k+1k) = ln(k+1)
Isso acontece porque cada cancela parcialmente com o anterior.

Passo 8

Portanto, a soma parcial da série é:
Sn = 0.25 cdot ln(k+1)

Passo 9

Para determinar a convergência da série, analisamos o comportamento de limk to infty Sn = 0.25 cdot limk to infty ln(k+1) = infty quando :

Resposta

A série diverge.

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