Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a série
. Nosso objetivo é analisar se essa série converge, converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, como séries telescópicas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Sabemos que
. Então, temos:
Passo 3
Aplicando a propriedade dos logaritmos
, podemos reescrever a diferença:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na série original:
Passo 5
Observamos que a série
é uma série telescópica. Isso significa que muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos.
Passo 6
Vamos escrever os primeiros termos para identificar o padrão:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Ao somar esses termos, percebemos que os termos intermediários se cancelam:
Isso acontece porque cada
cancela parcialmente com o anterior.
Passo 8
Portanto, a soma parcial da série é:
Passo 9
Para determinar a convergência da série, analisamos o comportamento de
quando
:
Resposta
A série diverge.