Toda sequência divergente é não limitada? Prove em caso afirmativo ou dê um contra-exemplo caso negativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é: “Toda sequência divergente é não limitada? Prove isso ou dê um exemplo que mostre o contrário.” Vamos trabalhar com sequências numéricas e entender os conceitos de divergência e limitação para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser divergente. Uma sequência é divergente se ela não converge para nenhum número específico. Ou seja, ela não tem um limite finito. Por outro lado, uma sequência é limitada se existe um número que serve como “teto” e outro como “piso” para todos os seus termos.
Passo 3
Agora, a pergunta quer saber se toda sequência que não converge (ou seja, toda sequência divergente) também não é limitada. Vamos pensar nisso: será que todas as sequências que não têm um limite finito também não têm um limite superior ou inferior?
Passo 4
Na verdade, nem toda sequência divergente é não limitada. Vou dar um exemplo para ilustrar isso: considere a sequência
, que alterna entre -1 e 1. Essa sequência não tem um limite específico porque continua pulando entre esses dois valores, então é divergente. Porém, todos os seus termos estão entre -1 e 1, então é limitada.
Passo 5
Portanto, esse exemplo mostra que é possível ter uma sequência que não converge (é divergente) mas que ainda assim é limitada. Assim, nem toda sequência divergente é não limitada.
Resposta
Não, nem toda sequência divergente é não limitada. Por exemplo, a sequência
é divergente, mas está limitada entre -1 e 1.