Aqui está a região de integração da integral
Reescreva a integral na forma de uma integral iterada equivalente na ordem
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma integral tripla e precisa reescrevê-la mudando a ordem de integração para
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente a mudança de ordem de integração em integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e como eles se transformam na nova ordem que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da integral original:
Aqui,
varia de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de -1 a 0. E para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, queremos mudar a ordem para
. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
, depois
, e por último
. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração de acordo com essa nova ordem.
Passo 4
Vamos visualizar a região de integração. Originalmente,
vai de -1 a 0, e para cada
,
vai de 0 a
. Queremos expressar
em função de
.
Como
e
é negativo (de -1 a 0), podemos escrever
(porque
é negativo) e
.
Passo 5
Assim, os novos limites para
são de
a 0. Já
varia de 0 a
, mas queremos que
vá do 0 até 1, já que
no intervalo de
de -1 a 0 vai até 1.
Passo 6
Finalmente,
continua variando de 0 a 1, independente de
e
.
Resposta
A integral reescrita na ordem
fica assim: