Calcule as integrais nos exercicios 7-20.
integral-1^1 integral-1^1 integral-1^1(x+y+z) d y d x d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral-1^1 integral-1^1 integral-1^1 (x + y + z) , dy , dx , dz
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver, vamos integrar a função em relação a , depois a e por último a . Vamos precisar lembrar como integrar funções polinomiais e entender como funcionam os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral-1^1 (x + y + z) , dy em relação a x cdot y + 12 y^2 + z cdot y g|-1^1 , mantendo e constantes. A integral em relação a é:
Para integrar isso, a gente trata cada termo separadamente:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular esse resultado nos limites de x cdot 1 + 12 (1)^2 + z cdot 1 = x + 12 + z de x cdot (-1) + 12 (-1)^2 + z cdot (-1) = -x + 12 - z a (x + 12 + z) - (-x + 12 - z) = 2x + 2z :
Para :
Para :
Subtraindo o segundo resultado do primeiro:
Então, a integração em relação a nos dá .

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado integral-1^1 (2x + 2z) , dx em relação a x^2 + 2z cdot x g|-1^1 , com de a :
Novamente, integramos cada termo separadamente:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
Então, temos:

Passo 5

Vamos calcular esse resultado nos limites de (1)^2 + 2z cdot 1 = 1 + 2z de (-1)^2 + 2z cdot (-1) = 1 - 2z a (1 + 2z) - (1 - 2z) = 4z :
Para :
Para :
Subtraindo o segundo resultado do primeiro:
Então, a integração em relação a nos dá .

Passo 6

Finalmente, vamos integrar integral-1^1 4z , dz em relação a 2z^2 g|-1^1 , com de a :
A integral de em relação a é:

Passo 7

Calculando nos limites de 2(1)^2 = 2 de 2(-1)^2 = 2 a 2 - 2 = 0 :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral é 0.

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