Aqui vamos considerar o produto de séries. Suponha que e são duas séries absolutamente convergentes, de somas e respectivamente. Defina por
e considere a série . O objetivo é mostrar que .
(i) Dado mostre que é possível encontrar tal que, se então valem simultaneamente:
(ii) Olhe para
Já temos que . O problema está em majorar a parcela
Pense no seguinte diagrama: represente os pelos pontos , os pelos pontos e os pelos pontos . A idéia é que as somas parciais nos dão regiões triangulares (mais precisamente, olhe para o triângulo de vértices e , ao passo que o produto das somas parciais nos fornece uma região retangular (mais precisamente, olhe para o retângulo de vértices e ). Com isso em mãos conclua que
e obtenha
Finalmente fique com
Isto feito para séries numéricas, deduza (Proposição 2.7).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas séries infinitas que somam e , e elas são absolutamente convergentes. Queremos provar que o produto dessas duas séries, , é igual à soma de outra série construída a partir dos termos das duas séries originais. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar séries e usar propriedades de séries absolutamente convergentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Se uma série é absolutamente convergente, então a soma dos valores absolutos também converge. Isso é importante porque séries absolutamente convergentes têm boas propriedades quando a gente faz operações com elas, como a multiplicação.
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto das duas séries e . O produto dessas séries resulta em uma nova série cujos termos são formados pela soma dos produtos onde . Ou seja,
Isso é exatamente o que o enunciado define para .
Passo 4
Vamos para a parte (i) do exercício. Queremos mostrar que, dado um , dá para escolher um número tal que, se , as seguintes três condições sejam satisfeitas:
Vamos entender por que isso é possível usando o fato de que as séries são absolutamente convergentes.
Passo 5
Como as séries e são absolutamente convergentes, sabemos que seus termos tendem a zero quando cresce. Isso significa que podemos escolher um suficientemente grande para que a soma dos termos a partir de seja menor que qualquer que a gente escolher. Assim, podemos garantir que as duas últimas desigualdades sejam verdadeiras.
Passo 6
Além disso, como as séries são absolutamente convergentes, a soma parcial se aproxima de quando aumenta, e se aproxima de . Portanto, a diferença entre e pode ser feita menor que escolhendo grande o suficiente.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (ii). Queremos analisar a diferença:
E usar o diagrama sugerido para visualizar isso como áreas no plano.
Passo 8
Imagina que cada está no ponto e cada está em . Então, os produtos ficam nos pontos . A soma representa a soma dos produtos dentro de um triângulo com vértices em , e . Já corresponde a um retângulo com vértices em , , e .
Passo 9
A diferença entre essas duas somas está nas áreas fora do retângulo, mas dentro do triângulo. Essas áreas correspondem aos termos onde pelo menos um dos índices é maior que . Assim, podemos majorar essa diferença pela soma dos termos a partir de .
Passo 10
Aplicando essa ideia, temos:
Como já garantimos que as somas a partir de são menores que , substituímos:
Passo 11
Ao juntar tudo, temos:
Isso mostra que para qualquer , podemos fazer a diferença entre a soma parcial de e tão pequena quanto quisermos, desde que seja suficientemente grande.
Resposta
Portanto, mostramos que , ou seja, o produto das séries e é igual à soma da série definida por . Isso confirma a Proposição 2.7 para séries numéricas absolutamente convergentes.