Aqui vamos considerar o produto de séries. Suponha que sumn=0^infty an e sumn=0^infty bn são duas séries absolutamente convergentes, de somas a e b respectivamente. Defina cn, n >= 0 por
cn=a0 bn+a1 bn-1+cdots+an-1 b1+an b0
e considere a série sumn=0^infty cn. O objetivo é mostrar que a b=sumn=0^infty cn.
(i) Dado epsilon>0 mostre que é possível encontrar N tal que, se n >= N então valem simultaneamente:
|sumn=0^N an sumn=0^N bn-a b|
(ii) Olhe para
|sumn=0^2 N cn-a b| <=|sumn=0^2 N cn-sumn=0^N an sumn=0^N bn|+|sumn=0^N an sumn=0^N bn-a b|
Já temos que |sumn=0^N an sumn=0^N bn-a b|. O problema está em majorar a parcela
|sumn=0^2 N cn-sumn=0^N an sumn=0^N bn|
Pense no seguinte diagrama: represente os an pelos pontos (n, 0), os bn pelos pontos (0, n) e os an bm pelos pontos (n, m). A idéia é que as somas parciais sumn=0^2 N cn nos dão regiões triangulares (mais precisamente, olhe para o triângulo de vértices (0,0),(2 N, 0) e (0,2 N)), ao passo que o produto das somas parciais sumn=0^N an sumn=0^N bn nos fornece uma região retangular (mais precisamente, olhe para o retângulo de vértices (0,0),(N, 0),(0, N) e (N, N) ). Com isso em mãos conclua que
|sumn=0^2 N cn-sumn=0^N an sumn=0^N bn| <= sumn=N+1^2 N|an| sumn=0^N|bn|+sumn=0^N|an| sumn=N+1^2 N|bn|
e obtenha
|sumn=0^2 N cn-sumn=0^N an sumn=0^N bn|
Finalmente fique com
|sumn=0^2 N cn-a b|<(a+b+1) epsilon
Isto feito para séries numéricas, deduza (Proposição 2.7).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas séries infinitas que somam e , e elas são absolutamente convergentes. Queremos provar que o produto dessas duas séries, , é igual à soma de outra série construída a partir dos termos das duas séries originais. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar séries e usar propriedades de séries absolutamente convergentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Se uma série é absolutamente convergente, então a soma dos valores absolutos também converge. Isso é importante porque séries absolutamente convergentes têm boas propriedades quando a gente faz operações com elas, como a multiplicação.

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto das duas séries cn = a0 bn + a1 bn-1 + cdots + an b0 e . O produto dessas séries resulta em uma nova série cujos termos são formados pela soma dos produtos onde . Ou seja,
Isso é exatamente o que o enunciado define para .

Passo 4

Vamos para a parte (i) do exercício. Queremos mostrar que, dado um |sumk=0^N ak sumk=0^N bk - a b| < epsilon , dá para escolher um número sumk=N+1^2N |ak| < epsilon tal que, se sumk=N+1^2N |bk| < epsilon , as seguintes três condições sejam satisfeitas:
Vamos entender por que isso é possível usando o fato de que as séries são absolutamente convergentes.

Passo 5

Como as séries e são absolutamente convergentes, sabemos que seus termos tendem a zero quando cresce. Isso significa que podemos escolher um suficientemente grande para que a soma dos termos a partir de seja menor que qualquer que a gente escolher. Assim, podemos garantir que as duas últimas desigualdades sejam verdadeiras.

Passo 6

Além disso, como as séries são absolutamente convergentes, a soma parcial se aproxima de quando aumenta, e se aproxima de . Portanto, a diferença entre e pode ser feita menor que escolhendo grande o suficiente.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (ii). Queremos analisar a diferença:
|sumn=0^2N cn - a b|
E usar o diagrama sugerido para visualizar isso como áreas no plano.

Passo 8

Imagina que cada está no ponto e cada está em . Então, os produtos ficam nos pontos . A soma representa a soma dos produtos dentro de um triângulo com vértices em , e . Já corresponde a um retângulo com vértices em , , e .

Passo 9

A diferença entre essas duas somas está nas áreas fora do retângulo, mas dentro do triângulo. Essas áreas correspondem aos termos onde pelo menos um dos índices é maior que . Assim, podemos majorar essa diferença pela soma dos termos a partir de .

Passo 10

Aplicando essa ideia, temos:
|sumn=0^2N cn - sumn=0^N an sumn=0^N bn| <= sumn=N+1^2N |an| sumk=0^N |bk| + sumk=0^N |ak| sumn=N+1^2N |bn|
Como já garantimos que as somas a partir de <= epsilon b + a epsilon são menores que , substituímos:

Passo 11

Ao juntar tudo, temos:
|sumn=0^2N cn - a b| < (a + b + 1) epsilon
Isso mostra que para qualquer , podemos fazer a diferença entre a soma parcial de e tão pequena quanto quisermos, desde que seja suficientemente grande.

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, o produto das séries e é igual à soma da série definida por . Isso confirma a Proposição 2.7 para séries numéricas absolutamente convergentes.

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